|
| |
|
Главная Журналы предположение о форме профиля является аппроксимацией, которая улучшается при увеличении числа расчетных точек. Обсуждение метода контрольного объема. В книге будет использоваться метод контрольного объема для получения дискретных аналогов. Основная причина этого заключается в том, что дискретные аналоги, полученные этим методом, являются не только формальной математической аппроксимацией, но и имеют ясный физический смысл. Интересующие нас дифференциальные уравнения представляют собой законы сохранения. Например, уравнение теплопроводности основано на законе сохранения энергии. В дальнейшем мы используем законы сохранения количества движения при течении в каналах и сохранения массы при течениях в пористых средах. Когда дискретные уравнения получены методом контрольного объема, они представляют собой законы сохранения энергии, количества движения, массы для каждого контрольного объема. Из этого следует, что полученное численное решение удовлетворяет законам сохранения этих величин во всей расчетной области. На простом примере в этом параграфе показано, что разные методы получения дискретного аналога приводят к одному и тому же конечному уравнению. Но это случается не всегда. Здесь мы использовали очень простое дифференциальное уравнение и выбрали частный случай предположения о профиле для метода контрольного объема. Для более сложных дифференциальных уравнений или для других предположений о форме профиля итоговые дискретные аналоги могут различаться в случае использования рядов Тейлора, метода контрольного объема и других способов. Решение, полученное с помощью метода контрольного объема, всегда будет сохранять баланс (энергии, количества движения и др.) во всей расчетной области, чего нельзя сказать о решениях, найденных другими методами. 2.3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР Получим численное решение уравнения (2.1) для простой ситуации. Для области длиной L определим граничные условия: Т=Т прих = 0; (2.14) Т=Тв прих = 1. (2.14а) Далее будем использовать следующие заданные величины: к=\- S = 2; 1 = 5; 0; = 15. (2.15)  Рис. 2.3. Равномерная сетка с шестью расчетными точками Дискретные уравнения. Для этого простого примера будем использовать равномерную сетку с 5х = 1, показанную на рис. 2.3. Температуры на границах областей Г, и Tg известны [см. (2.15)]: (2.16) Г, = О Для внутренних расчетных точек 2-5 можно записать дискретные аналоги в форме (2.13). Следовательно, используя значения заданных величин [см. (2.15)], получаем 2Г2 = Гз + 2; 2Гз = Т, 2Т, = Т, Г,+ 2; (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) 2Т, = Г4 + 17. Следует заметить, что температуры на границах областей Г, и имеют известные значения согласно (2.16). Решение алгебраических уравнении. Осталось только решить уравнения (2.17)-(2.20) для неизвестных температур. Так как эти уравнения записаны в специальной форме, то может быть применен простой метод решения. Для начала запишем уравнение (2.17) в виде Tj = 0,5Гз + 1. (2.21) Подставив выражение (2.21) в (2.18), получим 2Гз = Т + 0,5Гз +1+2, (2.22) отсюда Гз = 2/3 Г4 + 2. (2.23) При использовании выражения (2.23) из уравнения (2.19) имеем Г4 = 3/4Г5+3. (2.24) Наконец, подставив выражение (2.24) в уравнение (2.20), получим 2Г5 = 3/4 Г5 + 3+17. (2.25) Поскольку в уравнении (2.25) неизвестным остается только Т, найдем эту температуру: Г5 = 16. (2.26) Если используем это значение Г5 в уравнении (2.24), то получим Т; затем из выражения (2.23) найдем Гз и из выражения (2.22) - Таким образом, численное решение задачи выглядит следующим образом: Г, = 7; Гз = 12; Г4 = 15; Г5 = 16. (2.27) Метод, примененный здесь, является мощным средством решения системы алгебраических уравнений определенной формы. Этот алгоритм в общем виде подробно описан в п. 2.4.4. Сравнение с точным решением. Получив численное решение, интересно сравнить его с точным. Уравнение (2.1) может быть решено для постоянных к, S W граничных условий (2.14): Т=Т, + {Т,~Т,) j + l-(L-x)x. (2.28) Подставив значения, данные в (2.15), получим Г = 8х - х2. (2.29) Это выражение может быть использовано для нахождения точных значений Т, ...,Т при х = 2, 5 соответственно. В данном частном случае получилось, что точные значения, найденные по выражению (2.29), совпадают с нашим численным решением [см. (2.27)]. Такое замечательное совпадение случается довольно редко и имеет место только в некоторых простых задачах. Однако полезно осознавать, что иногда численное решение не приводит к погрешностям даже при использовании небольшого числа расчетных точек. В рассмотренной здесь задаче точное распределение температуры является параболической функцией согласно (2.29). Замещение ее кусочно-линейной функцией является чистой аппроксимацией. Но случилось так, что выражения (2.10) и (2.11) для градиентов температуры, полученные с помощью этого профиля, корректны и для градиентов при параболическом изменении температуры. Это случайное совпадение в представленной задаче делает наше численное решение идентичным точному. В общем случае численное решение, полученное только при небольшом числе расчетных точек, будет давать некоторую погрешность по сравнению с точным решением. Если увеличивать число расчетных точек, то эта погрешность будет уменьшаться. На неко- 0 1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 |