|
| |
|
Главная Журналы уравнений, которые называются дискретлылт анаюгами дифференциального уравнения (2.1). Способ получения дискретных аналогов будет обсуждаться ниже (см. § 2.2). Когда расчетная область содержит небольшое число расчетных точек, дискретные аналоги представляют собой грубую аппроксимацию дифференциального уравнения. При этом полученное численное решение обычно не совпадает с точным решением дифференциального уравнения. При увеличении числа расчетных точек численное решение становится более корректным и приближается к точному. Для многих задач использование даже небольшого числа расчетных точек приводит к решениям, которые достаточно точны для практических целей, что будет продемонстрировано в этой и других главах. Для одномерной задачи стационарной теплопроводности уравнение (2.1) обычно может быть решено аналитически. Однако для сложных многомерных задач очень трудно или вообще невозможно получить аналитическое решение. В этих случаях альтернативой является численный метод. Преимущество численного метода заключается в замещении дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений, которую можно решить с помощью компьютера. Далее будет показано, как могут быть получены подобные алгебраические уравнения. 2.2. ПОЛУЧЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ Существует множество способов из дифференциального уравнения, подобного уравнению (2.1), получить систему дискретных аналогов - алгебраических уравнений, содержащих Г, Г,, Т в качестве переменных. В этом параграфе рассмотрим несколько путей получения таких дискретных аналогов и выберем один из них для дальнейшей работы. Аппроксимация производных. Так как дифференциальное уравнение содержит производные, можно получить дискретный аналог заменой производных подходящей аппроксимацией. Например, вторая производная в уравнении (2.1) может быть аппроксимирована в расчетной точке с индексом / согласно рис. 2.1 как d.v г d.v
(2.2) Затем производные dT/dx в точках / + 1/2 и / - 1/2 могут быть записаны через Гу , Г,, Г, + , в виде: , d7 /+ 1/2 Ъх (2.3) / - I /2 Подсгановка этих выражений в (2.1) приводит к уравнению к (2.4) (& -[Г,,, + Г, ,-2Г,] + 5 = 0, (2.5) где и S считаются постоянными в принятом приближении. Уравнение (2.5) является дискретным аналогом уравнения (2.1). Если у нас есть уравнение, подобное (2.5), для каждой расчетной точки области, то можно получить численное решение для температуры Т, решив систему алгебраических уравнений. Использование ряда Тейлора. Это более формальная процедура получения уравнения (2.5). Разложив температуру Г, + , в ряд Тейлора, можно записать •(5х) (dT\ dx + Y (5x)- d.v2 -I- ... Аналогично температура Г, , может быть записана как 7-, , = Г,-(&г) •d7 d.v + 7 (&)" + ... (2.6) (2.7) Если в (2.6) и (2.7) пренебречь слагаемыми более высокого порядка по сравнению с (5х)-. то, сложив эти выражения, получим -2Т, (2.8) [dx- Это та же самая аппроксимация, что была получена ранее с применением (2.2)-(2.4). Таким образом, мы снова можем получить уравнение (2.5) подстановкой выражения (2.8) в (2.1). Метод контрольного объема (МКО). Участок, ограниченный штриховыми линиями на рис. 2.1, является маленькой частью рассматриваемой одномерной расчетной области. Такой участок называют подобластью, конечным объемом или контрольным объемом (КО). Можно получить дискретные уравнения, использовав тепловой баланс в контрольном объеме. В этих целях проинтегрируем уравнение (2.1) по контрольному объему и затем представим результат в виде  алгебраического уравнения. После интегрирования (2.1) по х в пределах от / - 1/2 до / + 1/2 получим / + 1/2 /-1/2 + S8x = Q. (2.9) Так как -kdT/dx представляет собой локальную поверхностную плотность теплового потока, урав-Рнс. 2.2. Кусочпо-.птсГшый профиль ненис (2.9) очевидно является ба-гсмперагуры лансом между тепловыми потока- ми через грани контрольного объема и количеством тепла, произведенным в контрольном объеме. Для представления градиента температуры dT/±x в уравнении (2.9) в алгебраической форме мы должны сделать предположение о профиле температуры Тмежду расчетными точками. На рис. 2.2 показан простой профиль, известный как кусочно-линейный. Использовав этот профиль, можно записать градиенты температуры на гранях контрольного объема в виде: (2.10) ;+ 1/2 ld-vA-i/2 Подставив эти выражения в (2.9), получим уравнение (2.11) 5;[Г„, + Г, ,-2Г,] + 55х = 0, (2.12) эквивалентное выражению (2.5). Это уравнение может быть переписано в виде (2.13) В дальнейшем будем применять эту форму записи ко всем дискретным аналогам. Заметим, что при получении уравнения теплового баланса (2.9) для контрольного объема не было сделано никаких аппроксимаций. Другими словами, уравнение (2.9) так же точно, как и (2.1). Однако 0 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 |