|
| |
|
Главная Журналы Используйте трехточечную рав1юмерную расчетную сетку с координатами точек = 1; 2 и 3. Ианниште уравнение для контрольного объема с точкой, имеющей координату г = 2. Рассчитайте числовые значения коэффициентов в этом уравнении. Напишите уравнение для ноловищюго контрольного объема у внеишей границы. Реннгге два этих уравнения и определите температуры при = 2 и 3. 2.10. В задаче 2.9 найдите плотности тепловых потоков в точка.ч с координатами г = 1 и 3. Рассчитайте также общее количество тепла, выделяемого в теле. На основе этих значений покажите, что тепловой баланс в точности выполняется. 2.11. Лля задачи 2.9 напишите дискретное уравнение для контрольного объема с расчетной гонкой, имеющей координату а- = 2, с источииковым чле1юм S. заданным как S = 50 ~ 0,2Р. Использовав в качестве текущей оценки температурь! в точке значение 7* = 50, найдите числовые значения всех коэффициентов дискретного уравнения. 2.12. Сферический объект радиусом R окружен твердым материалом бесконечной протяженности с температурой Tq на бесконечности. Поверхность сферы имеет температуру 7,, Подсчитайте стационарное распределение температуры вне сферы, использовав пять расчетных точек. Сравните численное решение с точным. Если О - это суммарная потеря тепла сферой, найдите значение (?/[Я(7 - Тд)\ из численного решения и сравните с точным значением (по.мес-тите вненппок) ранину расчетной области на расстояние 4R от сферы). 2.13. С помощью равномерной трех точечной сетки решите задачу о одномерной стационарной теплопроводности в тре-угольно.м ребре, показанном на рис. 2.18. Ширина основания b = 0,2. Поперечное Рис. 2.18. К задаче 2.13 сечение ребра остается постоянным вдоль направления, перпендикулярного плоскости рисунка. При глубине D в этом направлении и длине dv в нанравлении координаты X площадь теплообмена с окружающей средой равна 2D dx. Исгюльзуйте следуюнше значения параметров: к = 50; Г, = 120; = 20. /; = 1 при X = /,. Напишите дискретные уравнения для и (используйте способ А), Решите эти уравнения и найдите значение температуры острого конца ребра Т-. 2.14. Для задачи 2.13 найдите тепловой поток в основании ребра. Затем убедитесь в том, что он равен теплово.му гютоку в окружающую среду со всей гюверхпости ребра.  Глава 3 ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Так как книга посвящена моделированию явлений, подобных теплопроводности, приведем сначала дифференциальное уравнение теплопроводности, а затем обобщим его для аналогичных процессов. При этом подразумевается, что подробный вывод таких уравнений известен из других источников. Наша цель заключается в том, чтобы получить и понять уравнения, необходимые для построения численного метода и соответствующей вычислительной программы. 3.1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Закон Фурье, описывающий механизм теплопроводности, имеет (3.1) где - плотность теплового потока (т.е. количество тепла, перенесенное в единицу времени через единицу площади) в направлении оси х;к - теплопроводность материала. Плотность теплового потока в заданном направлении х пропорциональна градиенту температуры ЭГ/Эх в этом направлении. Знак «минус» в (3.1) соответствует тому, что тепло переносится из области с высокой температурой в область с низкой температурой. Применение первого закона термодинамики к бесконечно малому контрольному объему в твердом теле или в неподвижной среде приводит к хорошо известному уравнению теплопроводности. Оно содержит члены, которые соответствуют (для единичного объема в единицу времени): а) изменению внутренней энергии; б) переносу тепла за счет теплопроводности; в) генерации энергии (или «источнику тепла») за счет таких процессов, как ядерные или химические реакции, радиоактивность, прохождение через материал электрического тока. Обозначив три пространственные переменные через декартовы координаты x,y,zw время через t, можем записать уравнение теплопроводности в виде дТ д PTt=Tx где р - плотность; с - удельная теплоемкость; Sf источника тепла в единице объема. + S„ (3.2) мощность в этом уравнении величины р, с, к и 5/, могут зависеть от х, у, z, t и быть функциями температуры Т. Наш численный метод и вычислительная программа должны быть достаточно гибкими, чтобы учитывать подобные зависимости. Дифференциальные уравнения (2.1) и (2.98) (см. гл. 2) могут быть представлены как частные случаи уравнения (3.2). Единственной дополнительной особенностью (3.2) по сравнению с (2.98) является наличие членов, отвечающих за механизм теплопроводности по всем координатным направлениям. 3.2. ОБОБЩЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ Аналогичные процессы. Уравнение теплопроводности является прямым следствием закона сохранения, представленного первым законом термодинамики, и пропорциональности плотности потока градиенту температуры [см. (3.1)]. Существует множество других физических процессов, при которых соответствующая плотность потока некоторой величины пропорциональна градиенту этой величины и для которых существует закон сохранения. Отсюда следует, что эти процессы будут описываться дифференциальными уравнениями, аналогичными (3.2). К подобным процессам можно отнести диффузию химических компонент, движение заряженных частиц в электромагнитном поле, течение в пористых материалах, потенциальные течения, перенос тепла и влаги в почве, а также полностью развитые течение и теплообмен в каналах. Построив вычислительную процедуру для решения уравнения (3.2), мы сможем применить ее и для любого аналогичного процесса, просто придавая новый смысл величинам Т, к, S), и др. Например, можно интерпретировать Т как концентрацию, к как коэффициент диффузии, 5у, как скорость химической реакции и т.п. Удобнее работать с таким обобщенным дифференциальным уравнением, так как уравнение теплопроводности и другие аналогичные уравнения станут его частными случаями. В дальнейшем будем основываться на подобном обобщенном дифференциальном уравнении. Дифференциальное уравнение для обобщенной переменной. Обозначим через ф зависимую переменную в обобщенном дифференциальном уравнении. Градиент ф приводит к соответствующему 66 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 |