|
| |
|
Главная Журналы ар = а + а,у + ар- SpAx ; (2.102в) b = ScAx + alTp. (2.102Г) Интересно отметить, что еслн At -> оо, хо -> О н в результате формулы (2.102)-(2.102г) превращаются в формулы (2.43)-(2.43в). При выводе уравнения (2.101) полностью неявный метод заключался в использовании nensbcctfibix температур в момент времени t + Al для аипроксимащш плотности теплового потока на гранях контрольного объема и источникового члена, зависящего от температуры (5( + SpTp). Другими словами, новые (неизвестные) значения температуры превалируют в течение шага по времени. Другие детали. Все другие детали, рассмотренные в § 2.4 и 2.5, напрямую применимы и к нестационарной задаче. Поэтому представление граничных условий, переменной теплопроводности, решение алгебраических уравнений и другие операции проводятся аналогично. На самом деле существует только одна дополнительная особенность дискретных аналогов в нестационарной задаче - это присутствие коэффициента 0°. Поэтому удобно написать вычислительную программу, основанную на нестационарных уравнениях, и использовать ее как для стационарных, так и для нестационарных задач. Когда желательно применить программу к стационарной задаче, необходимо взять шаг по времени At равным очень большому числу (таким образом делая (Зр почти нулевым). 2.7. ЗАДАЧИ Р-\-О-I-б 2.1. Рассмотрите случай стационарной одномерной теплопроводности. В области длиной 2 на равном расстоянии расположены три расчетные точки (рис. 2.15). Теплопроводность к и источниковой член S имеют постоянные значения во всей области: 2 15 К задаче 2 1 к = 5, S = 150. Температура 7, = 100, а в расчетной точке 3 тепло уходит в окружаюн1ую среду, имеющую температуру = 20, при этом коэффициент теплоотдачи к = 15. Используя способ А, напишите дискретные аналоги для нахождения неизвестных температур Tj и Zj. На основе полученных значений покажите, что тепловой баланс в точностн сохраняется, т.е. выделение тепла во всей области равно потере его на границах. Рис. 2.16. К зядаче 2.2 2.2. Рассмотрите случай стационарной о.чно.мсрной теплопроводности. Стержень длиной 6 имеет постоянную теп.топроводность, равную 2,5. Источниковый член задается как 5 = 30 -27. Численное решение получается с ис-нользовапием грех точек, как показано на рис. 2.16, Для случая - 2 = Xj ~ i используйте способ Л, чтобы расположить грани контрольных объемов. Граничные условия выберите следующими: плотность теплового потока <? = 15 при X = .т,; теплообмен с окружающей средой, имеющей температуру 7о = 30, с коэффициентом теплоотдачи /г = 5 при х = Ху Напишите дискретные уравнения для нахождения значений 7",, /"j и Z",. Решите их с помощью TDMA. С помощью значения получите плотность теплового потока при X = Ху Рассчитайте значение 5Дл для каждого контрольного объема. Покажите, что тепловой баланс в точности выполняется. 2.3. Стационарный одномерный процесс теплопроводности в твердом теле с переменной теплопроводностью описывается уравнением -1-5=0, где 5 = I. rpatrH4Hbie условия следующие: d77dt = О при л = О и Г = О при х = = 2. Для трехточечной сетки, показанной на рис. 2.15, значения теплопроводности в расчетных точках задаются как А = (2 + х). Запишите дискретные уравнения для точек / и 2. Решите эти уравнения и найдите Г, и Tj. Напишите ураннсние для половинного контро.чыюго объема, содержащего точку i. Используйте это уравнение лля определения плотности теплового потока через границу при л = 2. Покажите, что этот ноток равен количссгву тепла, выделяющемуся в области в единицу времени. 2.4. Плотность теплового потока на границе задана через граничную температуру в виде 1?, = 10 - бГд . Напишите выражения для]\. и, использующиеся в линеаризованной форме для плотности потока через границу. 2.5. Стержень диаметром D и длиной L с теплопроводностью к расположен между горячими поверхностями с температурами Гд и 7); (рис. 2.17). Поверхность стержня охлаждается жидкостью, имеющей температуру 7", с коэффициентом теп]Ю0тдачи h. Исгюльзуя рав1юмерную сетку, состоящую из трех точек, отстоящих на расстоянии 111 одна от другой, гюлучите дискретное Рис. 2,17. К задаче 2.5 уравнение для контрольного объема, содержащего центральную точку и гю-строенного с помощью сгюсоба А. Подставьте приведенные ниже данные и рассчитайте значение температуры в центральной точке. Используйте уравнения для приграничных контрольных объемов и найдите плотности тепловых потоков на концах стержня. Наконец, покажите, что суммарные потоки на концах стержня равны тепловым потокам, переданным в окружающую жидкость, и выполняется тепловой баланс. Значения параметров в задаче следующие; Г, = 150; Тц = 200; Г, = 20; к = 120; h = 2,5; D = 0,1; Z. = 1. 2.6. Стационарная одномерная теплопроводность в стержне с переменной площадью поперечного сечения описывается уравнением А Ах kAf Ах + 5 = 0. Получите дискрстг{ые уравнения, предполагая, что значения площадей поперечного сечения А на гранях контрольных объемов известны (умножьте уравнение на А и проинтегрируйте по .v). 2.7. Одномерная теплопроволность в радиальном направлении в цилиндрической системе координат описывается уравнением i а. г dx + 5=0. Получите соответствующие дискретные уравнения (умножьте уравнение на г и затем проинтегрируйте по г). Заметим, что это частный случай ситуации, описанной в задаче 2.6. 2.8. Используя вывод для задачи 2.7, решите следующую задачу об одномерной стационарной теп.юпроводности в полом гшлиндре с постоянными к и S. Внутренняя и внеин1яя поверхности поддерживаются при постоя......ix температурах Г, и Гц. Отношение радиусов г/г = 4. Источник задан выражением Srf/[k{TQ - Гу)] = 2,5. Исгюльзуйте только несколько расчетных точек (например, пять) и сравните с точным решением. Подсчитайте плотность тепловых потоков (если необходимо, можете представить их в безразмерной форме) па внешней и внутренней поверхностях цилиндра. Покажите, что тепловой баланс в точности выполняется даже при решении на грубой сетке, 2.9. Стационарная одномерная теплопроводность в полой сфере описывается уравнением 2 dx dT r-k - + 5=0, где A: = 2 и 5= 50. Граничные условия следующие: ка внутренней поверхности (г= \)Т= 100; на внешней поверхности (г = Ъ) q = h(T- Т,), здесь h = 4. Т = 5. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 |