|
| |
|
Главная Журналы При применении способа В сначала разбивают всю расчетную область на необходимое число контрольных объемов, которые могут иметь различные размеры. При этом мы точно уверены, что разрывы в распределении теплопроводности или скорости генерации тепла совпадут с гранями контрольных объемов. Затем помещают расчетные точки в геометрический центр каждого контрольного объема. На каждой границе также размещают по расчетной точке. Такое разбие-mie показано на рис. 2.13. Для неравномерной сетки, построенной по способу В, грани контрольных объемов не обязательно лежат посередине между расчетными точками, но каждая точка расположена всегда в центре соответствующего контрольного объема. Все контрольные объемы, полученные при использовании способа В, являются обычными, не возникает никаких половинных контрольных объемов. Это приводит к дополнительным удобствам при написании программы. Однако вы можете удивиться: как же мы собираемся реализовы-вать граничные условия без половинных контрольных объемов? Оказывается, что в способе В половинные контрольные объемы также могут быть представлены, но в предельной форме. На рис. 2.14, а показан половинный контрольный объем, подобный приведенному ранее (см. рис. 2.8). В общем случае грань / может располагаться где угодно между точками В и I (посредством изменения толщины половинного контрольного объема Ах). Как показано на рис. 2.14, б, в способе В подразумевается, что грань расположена в точке В и значение Ах равно нулю. Таким образом, в способе В имеются половинные контрольные объемы нулевой толщины. При такой  Рнс. 2.13. Расположение расчетных точек н граней контрольных объемов при иснользованнн способа В Дх->0 Рнс. 2.14. Полопнннын кон1рольнын объем (а) и половинный контрольный объем нулевой толщины для способа В (б) интерпретации все выражения, приведенные в п. 2.4.3, справедливы и для способа В. Необходимо только принять Ах = О в этих выражениях. Требует комментария еще один аспект, касающийся разбиения, изображенного на рис. 2.14. Плотность теплового потока рассчитывается из предположения о линейном профиле температуры между точками 5 и /. Эта аппроксимация кажется разумной, когда грань / расположена между точками В и I. Когда же грань / совпадает с точкой В, то плотность теплового потока q (которая теперь равна q) все еще рассчитывается исходя из линейного профиля температуры между точками В w I. Такая односторонняя формула для вычисления q снижает точность результатов, полученных с помощью способа В. По этой причине в п. 5.5.2 предложена аппроксимация для q на границе более высокого порядка. До тех пор можете или не обращать внимания на этот недостаток способа В, или просто использовать способ А для одномерных задач. 2.6. Нестационарная теплопроводность Завершив рассмотрение стационарной одномерной теплопроводности, расширим метод на случай нестационарных задач. Введение. Нестационарная одномерная теплопроводность описывается дифференциальным уравнением вида дТ д k-\S, (2.98) где правая часть подобна левой части уравнения (2.1). Величины р и с соответствуют плотности и массовой теплоемкости материала, следовательно, произведение рс есть объемная теплоемкость. В этом случае возникают две независимые переменные: координатах и время /. В нестационарной ситуации известно начальное распределение температуры при t = 0. Задача заключается в отыскании распределений температуры в последующие моменты времени. При численном решении нестационарных задач время также становится дискретной величиной. Мы рассматриваем большое число шагов по времени и ищем поле температуры при различных дискретных значениях t, которые соответствуют завершению каждого шага по времени. Узнав, как получить решение для одного шага по времени, можно повторить этот процесс для любого числа шагов. Поэтому основная задача при решении уравнения (2.98) может быть сформулирована так: задано распределение температуры в момент времени t, найти поле температуры в момент времени t + At, где At - шаг по времени. Метод дискретизации. Существует множество методов получения дискретного аналога из уравнения (2.98). Три из них следующие: явный, Кранка-Николсона и полностью неявный. Не будем детально их рассматривать. Они приведены во многих книгах по численным методам. Кроме того, можно обратиться к [6], где они подробно описаны в контексте метода контрольного объема. В представленной книге будет использоваться только полностью неявный метод, так как он единственный (среди трех упомянутых), который позволяет использовать любые значения At, не получая физически нереальных результатов. Даже метод Кранка-Николсона, который часто описывается как безусловно устойчивый, может демонстрировать нефи-зичное поведение, когда превыщает некоторое значение (за более подробной информацией по этой теме можно обратиться к [6, 9]). Действительно, для малых значений At метод Кранка-Николсона может быть более точным, чем полностью неявный. Однако для наших целей более важно гарантированное получение реалистичных результатов при любых значениях At. Дискретный аналог. Пусть Тр обозначает известное значение Тр в момент времени t. Величина Тр (без верхнего индекса) соответствует неизвестной температуре в момент времени / + А/. Если рассматривать температуру Тр в качестве характерной для всего контрольного объема вокруг точки Р, то левый член уравнения (2.98) может быть проинтегрирован по контрольному объему: pcj dx = al{Tp-T,), (2.99) о {pc)px ар=-. (2.100) Остальные компоненты дискретного аналога могут быть взяты из пп. 2.4.1 и 2.4.2. В результате получим арТр = ар-Тр + ауТ„, + Ь, (2.101) % = (2.102) w = l; (2.102а) (,рс)рАх ар= (2.1026) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 |