|
| |
|
Главная Журналы 2.5.1. Построение сетки Как уже отмечалось, расчетные точки на рис. 2.4 не обязательно должны быть расположены на одинаковом расстоянии одна от другой. Хотя равномерная сетка удобна, свои преимущества имеет и неравномерная сетка. В большинстве задач существуют области, где изменения Т очень велики. Если увеличить число расчетных точек в этих областях, то можно получить там хорошее разрешение и повысить точность расчетов. В областях, где происходят плавные изменения Т, расчетные точки могут быть расположены достаточно редко. Таким образом, неравномерная сетка позволяет располагать заданное число расчетных точек наиболее эффективно. Для определения конкрет1юго распределения расчетных точек в заданной задаче обычно используются знания об особенностях физических процессов, а также некоторые интуитивные представления, почерпнутые из аналитических решений, и опыт, полученный из предварительных численных решений. 2.5.2. Переменная теплопроводность Достаточно часто встречаются ситуации, когда теплопроводность к меняется в зависимости от расстояния х. Это может происходить из-за того, что тело состоит из различных материалов или теплопроводность зависит от температуры. В большинстве случаев не имеется формулы для зависимости к от х, известны лишь дискретные значения к в расчетных точках. Тогда наша задача заключается в том, чтобы получить коэффициенты и ay в уравнении (2.42) через теплопроводности кц,, кр, к в расчетных точках. Для этой цели можно применить различные интерполяции. Методика, которая будет использоваться в этой книге, основана на простой физической концепции и имеет множество преимуществ. Подробное обсуждение этой темы можно найти в [5, 6]. Здесь будет дана только рекомендуемая формулировка. Если теплопроводность задана только в расчетной точке, то разумно предположить, что ее значение остается постоянным по всему контрольному объему, окружающему эту точку. Другими словами, каждый контрольный объем заполнен материалом с постоянной теплопроводностью (соответствующей ее значению в расчетной точке). Рассмотри.м грань е, показанную на рис. 2.10. Расстояния от этой грани до точек Р ]л Е обозначим через (5х) и (5х)+, которые в общем случае могут быть не равны. Как было показано ранее, коэффициент а-  Рис. 2.10. Расстояния от грани е до расчетных точек  Рис. 2.11. Составной профиль между расчегными точками [см. (2.43)] соответствует проводимости материала между точками Р н Е. Проводимость - это величина, обратная сопротивлению. Сопротивление от точки Р до точки Е есть сумма сопротивлений отрезков Ре и еЕ. Таким образом. (2.78) Аналогичная формула может быть получена для ол Одно из преимуществ этой формулы заключается в том, что она справедлива (без применения сгущения сетки или другой специальной техники) в случае больших разрывов в значениях теплопроводности на грани контрольного объема. Таким образом, расчетная область может содержать участки как с высокой теплопроводностью, так и не проводящие тепло. Интересно рассмотреть еще одну особенность при выводе формулы (2.78). При получении этой формулы мы заменили кусочно-линейный профиль, представленный на рис. 2.5, профилем, состоящим из двух частей и показанным на рис. 2.11. В данном случае зависимость Т от х между точками Р и Е является не просто прямой линией. Так как теплопроводности kp и различны, то существует излом этой линии на грани е контрольного объема. Плотность теплового потока может быть определена как (&), Исключив из этого выражения, получим L кр (Тр-Т,), (2.79) (2.80) откуда напрямую следует формула (2.78). 50 Из (2.79) можем также вывести формулу для Т: Те= /,/ (2.81) в вычислительной схеме мы получаем температуры в расчетных точках и обычно не определяем температуры на гранях контрольных объемов. Когда необходимо получить температуру на грани, нужно использовать выражение (2.81). 2.5.3. Нелинейность В § 2.4 были построены дискретные аналоги как линейные алгебраические уравнения, которые были решены по алгоритму, разработанному для линейных уравнений. Однако в задачах теплопроводности довольно часто встречаются нелинейности. Например, теплопроводность к может зависеть от температуры или скорость генерации тепла 5 может быть нелинейной функцией от Т. Граничные условия также могут быть нелинейными. В этих случаях коэффициенты ар,ар, Off, и b в дискретных аналогах зависят от температуры Т. Тогда дискретные аналоги уже не являются действительно линейными алгебраическими уравнениями. Для решения нелинейных задач используются итерации. Сначала задаются значения температуры в расчетных точках. Принимая их за известное температурное поле, рассчитываются предварительные значения коэффициентов в дискретных ана;югах. Затем решаются уравнения и получается новое температурное поле. Рассматривая это поле в качестве лучшей оценки для температуры, пересчитываются коэффициенты и снова решаются уравнения. Этот процесс повторяется до тех пор, пока решение не перестанет изменяться от итерации к итерации. Оно называется сошедшимся решением (на самом деле итерации прекращаются, когда изменение решения от итерации к итерации становится меньше некоторого заданного малого числа. Это условие известно как условие выхода из итераций). Иногда итерационный процесс не сходится, а приводит к дрейфующему или колеблющемуся решению. Такой процесс называется расходящимся. Конечно, очень важно предотвратить расходимость итерационного процесса. Выше (см. п. 2.4.1) мы отмечали, что коэф- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 |