|
| |
|
Главная Журналы для Q"(r) получим д7т) = к8{£з(т)-ЭБз(т,-т)] + -о t (14.8) Уравнения (14 5), (14.6) и (14.8) дают полное математическое описание рассматриваемой задачи. Уравнение (14.5) представляет собой нелинейное интегродифференциальное уравнение, не имеющее решения в аналитическом виде, однако его можно решить численно. В работе [4] это сделано методом итераций в приближении оптически тонкого слоя и без учета вязкой диссипации энергии, а в [5] - в приближении оптически толстого слоя и в точной постановке. Мы не будем обсуждать здесь эти результаты, поскольку мы уже приводили профиль температуры для близкой задачи о взаимодействии теплопроводности и излучения (см- фиг. 12.3). Если профиль температуры 8(т) известен, то легко рассчигагь введенные выше параметры, характеризующие теплообмен 14.2. ТЕЧЕНИЕ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ И ИЗЛУЧАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ Рассмотрим полностью развитое ламинарное течение поглощающей и излучающей, серой, несжимаемой жидкости с постоянными свойствами между двумя бесконечными параллельными пластинами, расстояние между которыми равно L. На фиг. 14.2 показана схема течения и система координат. Распределение скорости в полностью развитом ламинарном течении ме-  Фиг, 14.2. Термически развитое ламинарное течение между параллельными пластинами. жду параллельными пластина.ми описывайся выражением и [у] . (14.9) где Urn - средняя скорость. Распределение температуры в среде удовлетворяет уравнению энергии pCpU дТ дд ду ~ при OyL. (14.10) Здесь предполагается, что вязкая диссипация энергии отсутствует, кондуктивный и радиационный тепловые потоки в направлении X пренебрежимо малы и что теплофизнческие свойства жидкости постоянны. Если дополнительно предположить, что течение является полностью развитым в тепловом отношении аналогична случаю развитого течения без излучения, уравнение энергии (14.10) можно еще упростить, однако, принимая это допущение, нужно проявлять осторожность. Результаты исследований [12, 18] течения излучающей жидкости на тепловом начальном участке показали, что в случае сильного влияния излучения состояние полностью термически развитого течения не реализуется, и допущение о полностью термически развитом течении для подобных случаев не будет соответствовать действительности. Однако, когда влияние излучения невелико, предположение о термически развитом течении допустимо. Результаты анализа, проведенного при этом допущении, могут дать общее представление о том, как излучение влияет на теплообмен, прн условии чго ограниченность такого анализа не упускается из виду. Поставленная выше задача для полностью термически развитога течения была решена в работе [7]. Здесь будет дана постановка задачи и обсуждены некоторые результаты. В области полностью термически развитого течения градиент температуры в направлении течения дТ1дх может быть представлен так же, как в случае неизлучающей жидкости [1]: Tw~T йТп dx 7ы, - Тт dx (14.11) где - температура стенки, а 7" = Т(х)-средняя температура газа. Запишем баланс энергии для элементарного объема длиной dx на расстоянии х от входного сечения: pCpLudT = 2q dx dx pCpLUm (14.12а) (14.125) где /„,-плогность результирующего теплового потока на "Хдстановка (14.9), (14.11) и (14.126) в уравнение энергии (14.10) дает Запишем это уравнение в безразмерном виде de . 12 г т т \2П / 6.„ - 6 л , dQ ~dxo (14.15a) (14.156) с граничными условиями 9 = 9 при т = 0, 9 = 9 при т = То. В этом уравнении Qw-- безразмерная плотность результирующего Ап-дТ,. теплового потока на стенке; (14.16а) (14.166) a величины Л, Q т, tq и 9 были определены выше [см. формулы (14.7)]. Уравнение (14.14) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с независимой переменной г. Координата .V входит в Это уравнение как параметр через среднюю температуру Qm, поскольку величинз 9,„ зависит от л", Безразмерная плотность теплового потока на стенке Qu,, входящая в уравнение (14.14), равна Jt-O (14.17) Для беззмерной плотности потока РУтирующего излучения Q и ее производной dQ/dr в соответствии с (8.84) и (8.95) можно записать выражения Q (т) = Ur (0) £3 (т) - Ы £з (То - + (Т) Ё2 (Т - Т) dx ~ 5 (Т) £2 (т - Т) dx = (т)(0) £2(т) + (То) £2(То - т) + (14.18) (14.19) Здесь Н{0) и ?(то) - плотность потока эффективного излучения на граничных поверхностях т = 0 и т -Tq соответственно [т. е. 1 (0) = я/"*" {0)/ndTt и R (то) = я/ (то) /а7Д. Выражения для R{0) и ?(то) получаются нз соотношений (8.110а) и (8.1106): (O)-=80t + 2p + S еМт)£2(т0т H{0)E(x)-\QHx)E,(x,~x)dx ;i4.20) ;м.21) где в, и -степени черноты, а pf и р -диффузные отражательные способности граничных поверхностей т=0 и т = То соответственно. Система (14.14) - (14.21) дает полное математическое описание рассматриваемой задачи. Если далее предположить, что граничные поверхности т = О и т = То являются непрозрачными и имеют одинаковые степени черноты ej = &2 = Ё и одинаковые отражательные способности pd=:p=:p, то профиль температуры 9(т) будет симметричен относительно оси капала, а плотности потока эффективного излучения R(0) и R{xq) равны. В этом случае выражения (14.20) и (14.21) упрощаются: <+2(1-8) J QHx)E{x)dx R{0)R{xo)R = 1-2(1-Е)£з (То) (14.22) Здесь предполагается, что выполняется закон Кирхгофа, поэтому р замеиеио на 1 е. Число Нуссельта определяется следующим образом: Nu = - £ k [Tw - T,ix) (14.23) где De - эквивалентный диаметр (т. е. De = 2L). Формулу (14.23) можно переписать в ином виде: k (7щ Tjn) de , Q dx N (14.24) При больших значениях кондуктивно-радиацноиного параметра (т. е., при N оо) (14.24) сводится к обычному выражению для числа Нуссельта. После того как распределение температуры 9(т) найдено, можно вычислить все параметры теплообмена, введенные выше. МЕТОД РЕШЕНИЯ Весьма маловероятно, чтобы нелинейное интегродифференциальное уравнение (14.14) с радиационным членом dQjdx, определяемым выражением (14.19), можно было решить аналитически. Тем не менее его можно решить численно методом итераций, если предварительно преобразовать в нелинейное интегральное уравнение. Однако из-за того, что ядро Ei{\x - т]) имеет особенность при т~т1 = 0, для получения достаточно точных результатов необходимо выбирать очень мелкий шаг. Это в свою очередь требует больших затрат машинного времени. В работе [7] предложен приближенный метод для решения эгих уравнений. Для этого функция 6*(т) разлагается в ряд Тейлора в окрестности т: {% - xf йЩ (т) 21 dx + ....(14.25) Это разложение подставляется в (14.19), производится интегрирование, а получившееся выражение для dQ/dx подставляется в (14.14); в результате получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно безразмерной температуры 6(т). Решение его найти значительно проще. Однако точность этого метода сильно зависит от числа взятых членов ряда Тейлора. Заинтересованный читатель найдет обсуждение точности и пределов применимости разложений с тремя первыми членами, а также методы вычисления различных интегралов в оригинальной статье [7]. Если степень черноты б и отражательная способность р граничных поверхностей т = О и т = То одинаковы, профиль температуры 9(т) симметричен относительно оси канала. В этом случае дифференциальное уравнение можно решать только для области О т то/2, а граничные условия (14.15) заменяются иа dQ dx = при т = О, = 0 при т = То/2. (14.26а) (14.266) РЕЗУЛЬТАТЫ Если граничные поверхности непрозрачны, имеют одинаковую степень черноты и выполняется закон Кирхгофа, рассмотренная выше задача определяется пятью независимыми параметрами: N, То, 6, бц, и 9т- Так как задача нелинейная, случаи нагрева (0 > 0т) и охлаждения (0«, < 0т) газа следует рас-
0,1 0,2 0.3 Фиг. 14.3. Влияние параметра на профиль температуры при То = е = 1,0 ес = 0,5. 6щ,= 1,0 [7]. сматривать раздельно. Рассматривая случай нагрева газа, Висканта [7] брал в качестве определяющей температуры Тг = Ту, и заменял при представлении результатов численных расчетов среднюю температуру 0 температурой на оси канала 0с. На фиг. 14.3 показано влияние кондуктивно-радиациоиного параметра N на профиль температуры для случая нагрева (9»; = 1) при То = 1, 8 == 1 и 0с = 0,5. Профиль температуры при iV-» оо соответствует случаю неизлучающего газа. При уменьшении N (т. е. с возрастанием роли излучения) профиль температуры все больше отклоняется от профиля, соответствующего иеизлучаю-щему газу, а градиент температуры иа стенке уменьшается. Висканта рассмотрел также влияние оптической толщины слоя То и степени черноты стенки е иа профиль температуры. При малых оптических толщинах слоя (то = 0,1) профиль температуры при наличии излучения практически совпадает с профилем температуры, соответствующим теплообмену теплопроводностью и конвекцией. Этого можно было ожидать из физических соображений, так как прн малых То среда становится прозрачной для излучения и роль излучения становится несущественной. С ростом отражательной способности стенки профиль температуры прн наличии излучения приближается к профилю температуры без излучения. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [ 96 ] 97 98 99 100 101 |