|
| |
|
Главная Журналы где весовая функция W{\i) записывается в виде [см. (10.28)] Й(!а) = (Ло-1)7Ы. (11.956) Тогда уравнения (11.92) и (11.93) примут внд) 1 5[ai + 6i/p(0, -ц)-/р(0, ц)1(р(%, ц)Г((х)йГя + о + [Ь,А (т1о) - Л (- tio)I (Ofx,) Х(- т1о) + + \[Ь,А (Т1) - Л (- Ti)I (orioTi-V (- Tl) rfTi = о - - [Л (Tlo) - 6,Л (- Tio)l (I (OTio) X (Tlo), (11.96) \ [2 + (tor д) - Ip (to, - Ц)] ф ("По, Ц) tt (Ji) + + l-e-i-A (Tlo) + b,e-!-A (- tio)] ( cotio) X (- Ло) + + J [- e-f/M,(Ti) + ЬфМ {- 11)] Yfiloi] (- л) c/t] - [- гб-М (Tlo) + е/Л (- Tlo)] (otio) X (tio). (11.97) Теперь с помощью уравненнй (П.96) и (11.97) можно иайтп [А{У\о) - biA (- Tlo)] и [- 2е"-«»Л (tio) + е"/=Л (- tio)J соответственно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Для определения непрерывных коэффициентов преобразуем обе части уравнений (11.92) и (11.93) с помощью оператора й7(1) = (т1о-ц)у(ц). (11.98а) (11.986) Используя различные интегралы нормировки) и меняя местами Т1 и Tl в результирующих выражениях, получим \[a,+bjp{0, -(i)-/(0, 1х)]ф(т1, )W{)dii + [Ьх Л (Tic) - Л (- т1о)1 (иЩоХ {- Tlo) ф (- 10, Tl) + \[bxA М - Л (- Tl)] (0Т1 (Tlo + 11) X (- TiO ф (- Tl, Tl) rfTi = о -[Л(Т1)-М(~Т1)], (11.99) J[a2 + Mtf(to> 11)-р(то, "р)1ф(11, li)W{ii)dn + + [- е- "Л (Tlo) + М/М (- Tlo)] coTiTioX (- tio) ф (- tiq, ti) + + 5[~е-ИМ(т1)+6о£?М(-т1)](от1(т1о+т1)Х(--т1)ф(-л.11)г1== о [- be-IM (Tl) + eWM (- Tl)] --. (11.100) Таким обра.ом, с помощью уравнений (11.99) и (11.100) можно найти [Л (Tl) - 6iv4(-л)] и [-б2е«/М(т1)-1-е«М(-Tl)] соответственно. Теперь мы имеем четыре уравнення (11.96), (11.97), (11.99) и (11.100) для определения четырех неизвестных коэффициентов разложения Л(т1о), Л(-т1о), Л(т1) и А[-ti). Заметим, что два из них (11.99) и (11.100) представляют собой взаимосвязанные интегральные уравнення Фредгольма относительно непрерывных коэффициентов Л(Г1) и А{-ti), но два других уравнения не являются интегральными. Эти четыре уравнения можно записать более компактно в матричном виде МА (т1о) = G (Tlo) + 5 В Ы А (Т1) Ко (riO ti, о М (т1) А (Tl) = G (Tl) + в (Tlo) А (Tlo) К, {) + (11Л01) + 5b(ti)A(ti)/C(ti, Ti)rfTi. Tie(0. 1), (11.102) [е различные хматрицы определяются следующиу! образом: А(л) М(л) (11.103а) (11.1036) (И.ЮЗв) (По)- Ь, -1 G(Tio) ёГ1 (Ло) L (Ло) J G(ri) gi (л) .er2(Tl)J (П.ЮЗг) (И.ЮЗд) Хи(р)ф(Ло, P)rff, (11.104а) №Шт5[« + ЬЛ(То, 1х)-/,(То, -Р)]Х Х(()ф(Ло, Р)(х, (11.1046) г,(л)-([а. +Vp(0, -р)-/р(0, Р)]и(р)Ф(Л, (х)Р. ° (11.104в) T2(tl)([a2 + M.(o, fx)-/p(to, -Р)]№(Р)Ф(Л, (х)Р (11.104г) (11.105а) Здесь 2о - экстраполированная конечная точка в задаче Милна, которую можно рассчитать по формуле [21] .„ = i g(«,,)(1 + т) Arcth {)d>.(U. 1056) Коэффнцнепгы в уравнениях (11.101) и (11.102) определяются по формулам (11.106а) i() --T«1ii(-%)ф(-Ло. 1) = = 0)(l-0))T,§g(0), n)X(-T)X(-ri„), (11.1066) Функция g{(u, Г)) описывается следующим уравнением [см. (10.69)]: (i = (1-« Arcth п) + (). (11.107) а функция Кейса Х{-\\) связана с функцией Чандрасекара [см. (10.386)] соотношением Х{-У\) = (l-0)V(Tlo + n)ff(tl) (О < 1. (11.108) После того как получено частное решение /р(т, р) уравнения (11.85) прн заданном s(t), решаются уравнения (11.101) н (11.102) н определяются четыре коэффициента разложения. Зная коэффициенты разложения, с помощью (11.S8), (11.90) и (11.91) можно иайтн интенсивность излучения /(т, ja), пространственную плотность падающего излучения G{x) н плотность по-тсча результирующего излучения q{x) в любой точке среды. СУПЕРПОЗИЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РЕШЕНИЙ Описываемая уравнениями (11.83) н (И 84) задача в общем виде содержит много параметров н поэтому включает много частных случаев. Линейность исходных уравиеннй позволяет получить общее решение путем суперпозиции элементарных решений. Этот принцип суперпозиции будет рассмотрен для случая *;10стояиной температуры в среде, т. е. Г(т) = Го = сопз1, (11.109) В этом случае можно показать, что решение /(т, р) уравиеннй (11.83) н (11.84) может быть получено суперпозицией функций Ых,) (-=0, 1,2): 1{х, p) = aril)jT, p) + ffrtil?,(T. v)dTl%{x, р), (11.110) ;е функции ijjt, f) являются решениями трех простых задач: (х) = р11?о(0, - fi), р>0, (ll.Ula) (11.1116) (11.111b) iliIlliL + ,,(t, (x)==- 0<т<то, (ll.ll2a) (t„ - (x) = 6,, + pij, (t,. fx), p > 0. (11.11 2b) де i = 1 или 2, a 6ij - символ Кронекера. Тогда выражение для плотности потока результирующего из-хучения в среде записывается в виде / (г) = о [rJQo (т) + T\Q (т) + T\Q, (т)], (11.113а) 1 Q,{x) = 2n -фЛт, P)firfti, ( = 0, 1, 2. (11.1136) В большинстве практических приложений представляет ин-:ерес плотность потока результирующего излучения на грани-lax. Например, плотность потока результирующего излучения а границе т - О определяется по формуле / (0) = о UIQ, (0) + rjQ, (0) + T\Q, (0)]. (11.114) При тщательном рассмотрении задач, описываемых уравне-:1иями (11.111) и (11,112), оказывается, что для расчета плотности потока результирующего излучения необходимо иайти )уикцию т1;о(т) и любую ИЗ функций i]?! (т) И i1;2(t). Если пред-зарительно определены функции i1;o(t) и i1;i(t), то формула (11,114) для плотности потока результирующего излучения на стенке может быть записана в виде / (0) - а [ГЯ (0) + (0) - Ш\ (11-115) где функция Q(To) получается путем решения уравнения, олре-[еляющего функцию iJ)i(t, ii), однако в исходном уравнении, решением которого является функция i1),(t, р.), поверхности 1 и 2 меняются радиационными свойствами и решение берется для т -То. Таблица 11,4 Функции Qq (0), Qi (0) и Q\ (t), используемые при расчете плотности потока результирующего излучения в слое с постоянной температурой и диффузно отражающими границами [29]
в табл. 11.4 приведены численные значения функций Qo(0), Qi(0) hQ*(To), входящих в выражение (11.115), для только диффузно отражающих граничных поверхностен при трех различных оптических толщинах и (о = О и 0,5. 11.7. СЛОЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ Чтобы продемонстрировать применение метода разложения по собственным функциям для случая ш = 1, рассмотрим теплообмен излучением в плоском слое серой среды с распределен- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||