|
| |
|
Главная Журналы ниваются распределения температуры в слоях с оптической толщиной То - I и то оо для двух вариантов модели двух полос (модели Л и б) и модели серой среды. Заметим, что профиль температуры для модели А лежит ниже, чем для серой среды, и приближается к профилю температуры для серой среды, когда верхний предел интегрирования Zc становится бесконечным. И наоборот, профиль температуры для модели В лежит выше, чем для серой среды, и приближается к профилю температуры для серой среды, когда верхний предел интегрирования Zc стремится к нулю. 11.3, ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ в СЛОЕ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ И ИЗЛУЧАЮЩЕЙ СРЕДЫ ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ В данном разделе будет рассмотрен теплообмен излучением в поглощающей, излучающей, но нерассеивающей серой среде, (Ограниченной двумя параллельными поверхностями, при заданном распределении температуры, Такая постановка задачи соответствует физической ситуации, когда теплообмен излучением происходит при течении высокотемпературного поглощающего и излучающего газа с высокой скоростью между двумя параллельными пластинами. На фиг. 11,5 представлена геометрия задачи и соответствующая система коорднпаг. Предположим, что границы т - О и т = То непрозрачные, серые, излучают и отражают .диффузно, имеют степени черноты ei и ег, отражательные спо- собности р1 и р2 и поддерживаются при температурах Г] и Т2 со--ответственно. Распределение температуры в среде между гра-" ницами (т) задано. Требуется найти плотность потока резуль- тирующего излучения в среде. Математически задача описывается следующим уравнением; прн 0<Т<То, --1<(х<1 с граничными условиями [см. (8.99)J (11.39) . / (0) = 8,--f2pi /(0.-fiOiirffi, (i>0(ll.40a) I Ы = 82-~ + 2р2/(то, nOfi. 11< 0. (11.406) Формальное решение уравнения (11.39) рассмотрено в гл. 8; ллотность ноюка результирующего излучения ""(т) опреде-  Г=Го "Гг, рг. Е2 СреЭа с температурой Т(т) ® ® Фиг, 11.5. Плоский слой поглощающей и излучающей среды с температурой Т (т), заключенный между отражающими границами. ляется с ПОМОЩЬЮ-выражения (8.84), проинтегрированного по всем частотам: (т) = 2п [/+ (0) £3 (т) - /" (То) £3 (то - т)] + + 2я \lb[T{x)]E2{x-x)dx-\lb[T{x)]E2{x-x)dx . - о t ) (11.41) h{T{x)] пЧТ (т) Для расчета "(т) по (11.41) необходимо знать интенсивности излучения на границах /+(0) и /"(то). Рассмотрим случаи а) черных границ, б) диффузно излучающих и диффузно отражающих границ. а) Черные границы. В случае черных границ интенсивность излучения на границах рассчитывается с помощью соотношений /""(О) noTl  (11.42а) (11.426) Подставляя (11,42) в (11.41), получим плотность потока результирующего излучения в слое. б) Диффузно излучающие н диффузно отражающие границы, В случае диффузно отражающих н диффузно излучающих границ уравне11ия для опреде.тения /+(0) и /"(то) можно полу- чить, еслн проинтегрировать (8.110) по всем частотам. В результате получим Г(0)-8,/,(Г,) + Н-2р,{/-(то)£з(то)+ Ib[T(c)]E,{V)dx\ (11.43а) о ) Г (То)-82/, (Г2) + + 2р2-!/+(0)£з(то) +5 /й[Г(т)]£2(То-т)т . (11.436) I о J Решение системы уравнений (11.43) дает искомые выражения для интенсивиостей излучения на границах, С другой стороны, эти же результаты можно получить нз уравнений (8.108), если опустить в них частотную зависимость и заменить для по-глошаюшнх и излучающих сред функцию источника 5(т) на h [Т{х)]: /+ (0) = Ь + Р °) Ь + Р + Рз (to) в] Г (т)= "" (Т-р + 2рг [В + 2р1£з (to) Л] /.1446 l-PiP2-I(to) • У. • ) /г,[7(тг012(-г-т)т. ~, г = 1 или 2, (11.45а) (11.456) (11.45в) (11.45г) Подставляя (11.44) в (11.41), получим следующее выражение для плотности потока результирующего излучения ""(т) в слое поглощающей и излучающей среды с диффузно излучающими И диффузно отражающими непрозрачными границами 2п£ Ст - «2/6 (?2) + 2р2£з (Tj) tilb (Tl) + 2р, {В + 2р1£з (То) Л] 1-49,9.2(0) Н-2д/(,[?(т)]£2(-г-т)т-2п Ib[T{x)]E{x-x)dx\ (11.46) о т Рассмотрим теперь несколько частных случаев. Среда с постоянной температурой. Для среды с постоянной температурой Го пдТо h[T {-с)] = 1ь{То) = - = const (11.47) Тогда интегралы, входящие в выражение (11.46), можно определить следующим образом; \ h (Го) Е, (т - т) dx = h (Го) [у - £3(т)] (11.48а) \ tb{T,)E,{x-x)dx = h{T,)[~E.,{x,-x)\, (11.486) А=В1ь (Го) [{ - £3 (То)], (11 48в) после чего выражение (11.46) принимает вид /(т)-2я£з(т)Х w ei/f, {Тх) + 2р1£з (to) E2lb{T2) - lb (To) [(1 - Pi) + 2pi (1 - Pa) £3 (to)l l-JPiP.i-aCo) -2я£з(то-т)Х £2/;, {2) + 2p2.gii (to) eiJ {Tx) - lb (To) [(1 ~ P2) + 2P2 (1 - Pi) £3 (to)l l~4p,p2.£f(to) (11.49) Если теперь предположить, что границы черные (т. е. р, = рз - = О и 81 = 62 = 1), то выражение (11.49) упрощается и принимает вид q{x)2nE,{x)[Ib{Tx)~ 1ь{То)]~ - 2пЕ, (То ~ т) [h (Гз) - /, (Т,)]. (11.50) Прозрачная среда. В случае прозрачной среды, заключенной между двумя непрозрачными, диффузно отражающими и диффузно излучающими параллельными границами, выполняется условие X = 0. Тогда т = То = 0, £з(т) = £з(то) = £з(0) = . (11.51) Подставляя (11.51) в (11.46) и заменяя Pi и р i.a 1 - 8i и 1 - 83 соответственно, получим аТ\-дТ1 (l/8i)-f(l/82)-l {1/8,)-Ь(1/ег)~1 * 11.52) Это выражение для плотности результирующего потока излучения между двумя параллельными серыми диффузно отражающими н диффузно излучающими бесконечными пластинами, разделенными прозрачной средой, можно найти в любом учебнике по теплообмену. 11.4. СЛОЙ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ, ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И ИЗОТРОПНО РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЫ С ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТЕМПЕРАТУРЫ. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ Pi-ПРИБЛИЖЕНИЯ В настоящем разделе будет использовано Pi-приближение метода сферических гармоник для нахождения углового распределения интенсивности излучения и плотности потока результирующего излучения для плоского слоя поглощающей, излучающей и изотропно рассеивающей серой среды с постоянной температурой Го- Граничные поверхности 1 и 2 с координатами т = О и т = То поддерживаются при постоянных температурах Г] и Т2 соответственно. Предполагается, что поверхности серые, диффузно излучающие, имеют степени черноты, равные ei и £2, а их отражательные способности выражаются как сумма диффузной и зеркальной составляющих = pj + р, i= \ или 2. Математически рассматриваемая задача может быть описана уравнением При 0<т<то. - 1<р<1 (11.53а) С граничными условиями 1(0, fx) = 8,- + pf/(0, -fi) + 2pf 5(0. -fiO/V, Ц>0, (11.536) / (To, - (Л) - 8, + р/ (Т„ fi) + 2р 5 / (Т,, fi) fi rffi, fi > 0. (11.53b) Для простоты принимается n= 1. При такой общей постановке задачи можно рассмотреть несколько частных случаев. Например, prf = pd = 0 - только зеркально отражающие границы; р - = ps=: О-только диффузно отражающие границы; р -P2 = =r: =: р = е, = О - прозрачные границы н т. д. Данная задача будет решена с помощью Pi-приближения метода сферических гармоник, в результа1-е чего будут определены угловое распределение интенсивности излучения и плотность потока результирующего излучения в среде. Согласно (9.1196) н (9.123), плотность потока результирующего излучения (т) н иитеисивность излучения/(т, fi) в рамках Ррирнближения определяются следующим образом:  г, ч 1 dG (т) dG (т) (11.54а) (11.546) где G(t)-пространственная плотность падающего излучения. Уравнение переноса излучения (11.53а) преобразуется к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно G{x) [см. (9.120) и (9.1506)]: ЦКЮ{х)=~КЧдТ1 при 0<T<v (П.55а) ;2 = з(1 (О < 1. (11.556) Используя метод Маршака, можно преобразовать граничные условия (11 536) и (11.53b) к виду*) , , 2 . dG{x) afi (т)- 3-6,- aj (т) + X = 48, art, = 1 - - pf, / = 1 нлн 2, Ъ = \ +Р/ +Рр =1 илн 2. (11.55в) (11.55г) (11.55д) (11.55е) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |