|
| |
|
Главная Журналы где 6(т - р) -дельта-функция Дирака, ?.(р) - произвольная функция, которую нужно определить, а символ Р означает, что, когда (10.16) интегрируется но т) или р, интеграл, включающий член 1/(г - р), должен браться в смысле главного значения Коши ). Для определения функции проинтегрируем (10.16) по р от -I до 1, используя условие нормировки (10.6), что дает (10Л7а) Это выражение определяет функцию Х(р), которую следует подставить в (10.16). Тогда любое значение г[ в ]патервале (-1, I) является собственным значением, а функция {p(i], р), определяемая выражением (10.16), называется непрерывной собственной функцией, так как ц принимает непрерывно все значения между - I и 1. Интегрирование в (10.17а) по Коши дает Я (ti) - 1 -1 (0Т11п {\~) (10.176) Х{ц) = \ - Mil Arcthi]. (I0.I7b) ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Полное решение однородного ]штегральиого уравнения (10.3) представляет собой сумму двух д]аскретных решений для ф{-1, 1) и всех возможных непрерывных решений для г] е е (-I, I). Рассмотрим отдельно случаи, когда м < 1 и о)= 1. а) 0) < 1. Полное решение уравнения (10.3) можно записать в виде я1)(т, р) = Л(г1о)(р(11о. +Л(-11о)ф(-т)о, )е"« + + 5 Л(11)ф(т1, p)e-"rfil при (й<1. (10.18а) -1 где Л(цо), Л{-цо) и Л (i])-произвольные коэффициенты разложения. Такая запись решения полезна при решении задач для среды бесконечной протяжен]Юсти (т. е. npjj - оо<т<с»), которые требуют разложения но собственным функциям во всем диапазоне изменения р (т. е. -1<р1). Однако в задачах для полупространства или слоя конечной толщины, как правило, требуется разложение произвольной функции но собственным функциям в половине диапазона изменения ц. Для таких случаев удобно разбить интеграл на две части и записать (10.18а) в другом виде: (г, ,л) = Л(11о)ф(11). р)е-» +Л(-11э)ф(-11ъ р)е" + -ir[A{i])<J{-(\,\i)e-d]-{-\A{-T\){-],\i)edTi при м < 1, (10.186) где AM, Л (--По), Л(ц) и Л (-ii) - произвольные коэффициенты разложения. Для удобства выпишем еще раз полученные выше собственные функции: Ф(± 11„ р) 2 По + fi on Р Л.(-1. 1). (10.18в) ф(, ) = i- + Mil)6(ti-fi), (10.18Г) X(i]) = I - m-i] Arcthl], (10.18д) а д]аскретиые значения представляют собой два корня дис-nepcjJOHHoro соотношения Л(го) = 1 - MiijArcth (10.18е) Отметим следующие свойства симметрии собственных функций: Ф(, ,г) = ф(-. -1), (10Л9а) ф(-, 1) = ф(, -li), (ЮЛЭб) 1 = 110 или iie(-I, I). б) 0) = 1. Полное решение уравнения (10.3) равно сумме дискретных решений, определяемых выражениями (10.13), и непрерывных решений. Получаем {х, р) = Л~Н-В-(т~р) + + \ (Л)ф(11 li)e-dy\, со = 1, (10.20а) где Л, В и Л(i])-произвольные коэффициенты разложения. Решение, записанное в такой форме, полезно в случае неограниченной среды. В случае полупространства или слоя конечной толщины произвольные функции обычно раскладываются по собственным функциям в половине диапазона измеиения р. В таких случаях полезно разбить область интегрирования на две части и записать уравнение (10 20а) в виде Н-J Л(-л)ф(-Л. i)etfTi, о) = 1, (10 206) где Л, В, Л(т1) и А{-т)) - произвольные коэффициенты разложения Собственную функцию {р(т1, \i) можно получнть нз (10 18г) и (10 18д), подставив о) 1 10.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ Прн решении уравнения переноса излучения с помощью метода разложения по собственным функциям возникает задача разложения произвольной функции по собственным функциям однородного уравнения во всем диапазоне изменения р, (т е - 1 (г 1) нли в половине диапазона (т е О (г 1) Теоремы о полноте таких разложений доказаны Кейсом как для полного диапазона изменения х, так и для его половины Здесь будут приведены формулировки этих теорем, за их доказательством читателю следует обратиться к первоисточникам [1, 2] ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛНОГО ДИАПАЗОНА Достаточно гладкая функция) /(х), определенная во всем диапазоне изменения .i(-IfiI), может быть разложена по собственным функциям однородного уравнения (10 3): f{]i) = A (ло) ф (Ло, 1) + (- По) ф (- По, (л) Н- Н- \ (л)ф(П. \)d(\ при lie(-l, 1), о)< 1, (10,21а) -1 /(,г) = л- \ Л(Л)Ф(Л, \»)dц при fi е(-1, 1), (01, (10.216) где Л(11о), Л(-т]о), Л(т]), Л и В - коэффициенты разложения. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛОВИНЫ ДИАПАЗОНА Достаточно гладкая функция /((л), определенная в положительной половине диапазона изменения ц(0(г1), может быть разложена по собственным функциям следу-ющим образом f () = Л(ло)ф(%, \) + 1 -\а{у\){г\, \i)d(\ при iie(0, I), о)< 1 (10.22а) Д1) = Л- 5Л(Т1)Ф(Т1. ti)rfrj при [1(0, 1), о)= 1. (10.226) Если функция f(jx) определена в отрицательной половине диапазона изменения ц (т. е. -1 [iO), разложение принимает вид f() = Л(- %)ф(-Tjo, 1л)Н- Н- \ (л)ф(л. 1) при (iS(-l, 0), (О < 1, (10,228) 10.3, ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ортогональность собственных функций лежит в осгюве способа определения неизвестных коэффициентов в разложении произвольных функций по собственным функциям Эта методика аналогична использованию свойства ортогональности собственных функций в классическом методе разложения по ортогональным функциям В данном разделе рассмотрена ортогональность собственных функций прн разложениях в полном и половинном диапазонах ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ в полном ДИАПАЗОНЕ Дискретные собственные функции ф(±г]о, х) и непрерывные собственные функции {р(т1, (л) ортогональны в полном диапазоне изменения р (т е -1 I), ести они взяты с весом \х. Условие ортогональности имеет вид 5 1ф(1. 1а)ф(1. 1)Ф = 0 при 1Ф1\ (10.23) где И могут быть как дискретными собственными значениями ±т1о, так н непрерывными собственными значениями, лежащими между -1 и I. Для доказательства приведенного выше условия ортогональности запишем выражение (10.7) для и : (1-)ф(1. ix) = f, (1-)ф(Г, p) = f. (10.24а) (10.246) Умножим первое выражение на (р(, р), а второе на {р(, р), затем вычтем из первого второе и проинтегрируем полученное выражение по .i в пределах от -1 до 1; используя условие нормировки (10.6), получим ("Г~т) \ "Р Pt ()йгр-о. (10.25) Для того чтобы соотношение (10.25) выполнялось при I,Ф1„ необходимо, чтобы \ рф(. (а)ф(1, fi)rfp = 0 при IФ -1 (10.26) где и 1 принимают все собственные значения, т. е. , = т]о или т] е (-1, I). Соотношение (10.26) и является искомым условием ортогональности собственных функций в полном диапазоне изменения р. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ в половинном ДИАПАЗОНЕ В работе [6] показано, что дискретные ф(111Т1о, р) и непрерывные собственные функции ф(т], р) ортогональны с весовой функцией й(р) в половинном диапазоне изменения р. Доказательство этого условия ортогональности и определение весовой функции приведено также в [2]. Здесь будут представлены только окончательные выражения для условия ортогональности. Для положительной половицы диапазона изменения р (т. е. О р 1) условие ортогональности имеет вид 5чГ(р)ф(, р)ф(Г, ]i)d]i=Q при 1Ф1, (й< I, (10.27а) = т1о или Т] GE (О, 1), (10.276) а весовая функция W(p) определяется выражением) tt(p) = (%-f)Y(p). <о< 1. (10.28) При (0= I Щ- в этом случае, разделив обе части (10.27а) на По и переходя к пределу прн tio-»-oo, получаем, что весовая функция W(p) превращается в у (f)- Функция у iv) связана с введенной Чандрасекаром [19] функцией изотропного рассеяния Н (р) соотношением [7] Y() = 7-7-Г 0<<Ь «><1. (10-293) 2 (1 -С1))МПо-(1) или С функцией X{z), введенной Кейсом [2], y(p) 0<р<1, о)< 1. (10.296) 2 (по-1)(1~»)(-М При (0=1 11о°° и = хогда (10.29а) и (10.296) упрощаются и принимают вид Y () = (р), О < р < I, (0=1, У73]]у о<р<1, (0=1. Рассмотрим вкратце свойства функций Я (z) и (s). (10.29в) (10.29г) ФУНКЦИЯ ЧАНДРАСЕКАРА H{z) Одно из интегральных выражений, которому удовлетворяет функция Я(г), имеет вид [19] Я(г)=I-2Я(г)5Я(l)rfp, (10.30а) где f(p) -так называемая характеристическая функция, вид которой зависит от рассматриваемой задачи. Можно привести также другое интегральное уравнение, которому удовлетворяет функция Я (z) [19]: \-2\j{)dv. Н-5Я(р)р. (10.306) о -i о Характеристическая функция f(jx) для изотропного рассеяния определяется выражением (10.31) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |