|
| |
|
Главная Журналы При записи (8.225) было использовано следующее соотношение: (2 - 6ofe) [6ofe + cos k (ф1 - ф)] = = 2со5Й(ф1 - Ф), /fe = 0,1,2.... (8.226) Уравнение (8.225) можно представить последовательностью более простых уравнений относительно функций 1{х, р,), поскольку члены, содержащие cosй(фl - ф), являются линейно независимыми. Объединяя коэффициенты при со5/г(ф1-jjp), получим l 4- {г, ti) 0. k>N, (8.227) + f E и \ \) d\ k < N, (8.228) где k = 0,1, ..., Л, a n = k, /г -f I, ..., Л. Граничные условия для этих уравнений записываются в виде (8.229a) (8.2296) Уравнения (8.227) и (8.228) имеют тривиальные решения, поскольку оба эти уравнения и граничные условия являются однородными. Путем решения уравнений (8.228) совместно с граничными условиями (8.229) получены функции I{t,\l), k = = 0,1,2, Л. Таким образом, уравнение (8.217), учитывающее осевую асимметрию, преобразуется в систему (Л-- 1) инте-гродифференинальных уравнений для случая осевой симметрии. Случай .V = О соответствует изотропному рассеянию, и уравнение (8.228) сводится к уравнению а/ (т, ti) Цг, i) = f:e- + \ 1{т,ух)йц, (8.230) где для простоты индекс О опущен. Этот результат можно получить также из уравнения (8.210а), если принять в этом уравнении (т) = 0, /2(-1,ф) = 0 и Л(м.,ф) = Ь 6(м.1 -tt)- Соотношения для теплообмена излучением в непрозрачных средах 337 ПРИМЕЧАНИЯ ) Уравнение (84в) можно также вывести неггосредственно из определения субстанциальной производной, а именно dlv dt dlv ds div , div di dt ds dt поскольку с = dsjdt. 2) При некогерентном рассеянии происходит перераспределение рассеянного излучения по частотам, и член, соответствующий приращению энергии пучка за счет рассеяния излучения, запишется в виде \ \ v <-) Р -> V; П • П) /v is, Q\ t) dv dQ, где индикатриса рассеяния нормирована таким образом, что S S /7 (v-> v; Q-Q) rfv f/Q= 1. Уравнения (i) и (2) сводятся к уравнениям для чисто когерентного рассеяния, если " р (V > v; Q. fi) = р (Q • fi) б (v - V), (3) где б - дельта-функция Дирака Подставляя (3) в (1) и (2) соответственно получаем (Tv (S) р (fi • fi) h {s, fi. 0 dQ, 5 p(fi-fi)d£a = i. (4) (5) Более подробный анализ не когерентного рассеяния можно HawTif в книге Ам-барцумяиа [9] 3) Уравнение (818) аналогично уравнению стационарной теплопроводности с внутренними источниками, т. е V-q = g, где -вектор плотности кондуктивного теплового потока. Уравнение (8 20) аналогично уравнению стационарной теплопроводности без внутренних источников, т. е. V. = о. где q- - вектор плотности кондуктивного теплового потока. ) В прямоугольной системе координат, например, уравнение (8.25) можно записать в виде Jiixly iz) ") + {х. у, г;т, п), где I, т ч п - направляющие косинусы вектора Q, т. е. косинусы углов между направлением Q и осями ох, оу и ог соответственно. ") Прн учете зависимости радиационных свойств от частоты оптическая толщина зависит от частоты, лоэтому ее следует записывать как т. Однако для простоты индекс v будет опушен. ) Полиномы Лежаидра имеют вид /о {х)=\, Р, {x) = -i (32 - 1), {x) = j (35х* - 30 + 3), Pi{x),= x. p3(j:) = l(5x3 3v) и т.д. *) Уравнение, определяющее спектральную функцию источника (8.122), имеет вид 3v (T)==(l~<Dv) /vu() + I 5 /+ (0, n) e- dv, + J J- (To. - fi) e-+ 0 ) Уравнение (8.139a) означает, что в условиях радиационного равновесия плотность потока результирующего излучения всюду постоянна в среде, т. е. (jy {у) dv = const. но плотность монохроматического потока излучения qly) при этом не обязательно постоянна. ЛИТЕРАТУРА 1. Сэмпсон Д., Уравнения переноса энергии и количества движения в газах с учетом излучения, М., изд-во «Мир», 1970. 2. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953, 3. Kourganolf v., Basic Methods in Transfer Problems, Dover Publications, New York, 1963. 4. Соболев В. В., Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет, Гостехиздат, М., !956. 5. Viskanla R., Heat Transfer in Thermal Radiation Absorbing and Scattering Media, ANL-6170. Argonne National Laboratory, Argonne. HI,, 1960. 6. VisKanta R., Radiation Transfer and Interaction of Convection with Radiation Heat Transfer, in Advances in Heat Transfem, T. F. Irvine, J. P. Hartnett (eels). Academic Press, New York. 1966, 7. Weinberg A. M, Wigner E. P., The Physical Theory of Neutron Chain Reactions, The University of Chicago Press, Chicago, 111,, 1958- 8. Murray R. L., Nuclear Reactor Physics, Prentice-Hall, Englewood Cliits, N. J,, 1957. 9. Амбарцумян В. A,, Теоретическая астрофизика, М, -Л, 1939, 10. Whittaker Е. Т., Watson G. N., А Course In Modern Analysis, Cambridge University Press, London, 193), 11. Howell J. R,. Perlmutter М., Monte Carlo Solution of Radiant Heat Transfer in a Nongrey Nonisoihernnl Gas with Teinperature Dependent Properties, AIChE J., 10, 562-567 (1964). 12. Bevans J. Т., Dunkle R. V., Radiant Interchange Within an Enclosure, Pts I, 11, Heat Transfer, 82C, 1 - 19 (1960). 13. Эдварде Д, К,, Лучистый теплообмен в объеме с несерой оболочкой, за-полнонио!! изотермической газовой смесью двуокиси \глерода с азотом, Труды амер. о-ва инж.-мех.. сер. С. Теплопередача, 84,№ 1, 62 (1962). Ы Спэрроу Е. М., Сесс Р, д., Теплоо&мен излучением, изд-во «Энергия» Л,. 1972. 15. Crpsbie А. L., Viskanta R., The Exact Solution to a Simple Nongray Radiative Transfer Problem, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer 9, 553-568 (1969). 16. Crosbie A, L., Viskanta R, Nongray Radiative Transfer in a Planar Medium Exposed to a Collimated Flux Л Quant. Spectry Radiative Transfer 10. 465-485 f]970). 17. Crosbie A. L,, Viskanta R., Effect of Band or Line Shape on the Radiative Transfer in a Nongray Planar Medium, /. Quant. Spectri/. Radiative Transfer, 10, 487-509 (1970). 18. Chandrasekhar S.. The RadLiiive Equilibrtiim of (he Oiifer Layers of a Star with a Special Reference to the Blanketing Effects of the Reversing Layer, Monthly Notices Roy Astron Soc, 96, 21-42 (1935). 19. Siewert C. E,, Zweifel P. F., An Exact Solution of Equations of Radiative Transfer for Local Thermodynamic Equilibnun in the Non-Gray Gase: Picket-Fence Approximation, Ann. Phys. (N. Y.), 36, 61-85 (1966). 20 Siewert C. E.. Zweifel P. F., Radiative Transfer, II, /. Math. Phys., 7, 2092- 2102 (1966), 21. Kung H. C., Sibulkin M., Radiative Transfer in a Nongray Gas Between Parallel Walls, J. Quant. Spectry. Radiative Transfer. 9, 1447-1461 (1969). 22. Reith R. J,. Siewert C, E., Oziik M. N„ Non-grey Radiative Heat Transfer in Conservative Plane-Parallel Media with Reflecting Boundaries, /. Quant Spectry. Radiative Transfer. 11, 1441 - 1462 (1971). 23 Greif R., Energy Transfer by Radiation and Conduction with Variable Gas Properties, /nt. J. Heat Mass Transfer, 7, 891-900 {\964). 24. Heaslet M. A., Warming R. F., Radiative Transport and Wall Temperature Slip in an Absorbing Planar Medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 8, 979-994 (1965), 25. Heaslet M. A., Warming R. F.. Radiative Transport in an Absorbing Planar Medium, 33: Prediction of Radiative Source Functions, Int. J. Heat Mass Transfer, lO, 1413-1427 (1967). 26. Chu C. M., Leacock J. A., Chen J. C, Churchill S. W., Numerical Solutions for Multiple Anisotropic Scattering, in Electromagnetic Scattering* M. Kerker (ed, Macmillan Co.. New York, 3963, pp. 567-582. 27 Ивенс Л Б . Чу К. М , Черчилл> С, У., Влияние анизотропного рассеяния на перенос излучения, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 87, № 3. 69 (1965). ГЛАВА 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ Математические трудности, возникающие при решении ннтегродиффереициальных уравнений, привели к появлению ряда приближенных методов решения уравиеиия переноса излучения. В приближениях оптически тонкого и оптически толстого слоев (последнее называется также диффузионным приближением, или приближением Росселанда) используются упрощения, вытекающие из предельного значения толщины среды. В приближениях Эддингтона и Шустера - Шварцшильда упрощения связаны с введением допущений об угловом распределение интеисивности излучения. В методе экспоненциальной аппроксимации ядра ннтегроэкспоиенциальные функцнн в формальном решении заменяются экспонентами. Метод сферических гармоник, метод моментов и метод дискретных ординат - наиболее разработанные методы, позволяющие получить приближения более высоких порядков. В этой главе будут описаны приближенные методы решеиид уравнения переноса излучения. Читателю можно рекомендовать также посвященные этому же вопросу работы [1-5]. Приближенные методы полезны с той точки зрения, что они дают различные простые способы решения сложных задач переноса излучения, однако их применение ограничивается тем обстоятельством, что точность приближеииого метода не может быть оценена без сравнения с точным решением. Поэтому в гл. И -13 будут рассмотрены вопросы, связанные с применением и точностью некоторых из названных здесь приближенных методов решения задач теплообмена только излучением, а также сложного теплообмена в условиях взаимодействия излучения, теплопроводности и конвекции. 9.1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПТИЧЕСКИ ТОНКОГО СЛОЯ Приближение оптически тонкого слоя основано на предположении, что оптическая толщина среды то чрезвычайно мала (т.е. То-С I). В этом случае интегроэкспоненцнальные функцнн И экспоненту можно представить в виде BAt)=] -0(т), (9.1 а) В,(г) = ~~гО(г), (9.16) е-= I т + 0(т2). (9.1 в) Если подставить эти выражения в формальные решения, прч-ведеиные в гл. 8, то можно получить относительно простые выражения для функции источника, ннтенснвностей излучения на граничных поверхностях, плотности потока результирующего излучения и других величии. Применение этого приближения иллюстрируется ниже иа некоторых частных примерах. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА Выше было приведено интегральное уравнение (8.123) для спектральной функции источника в предположении изотропного рассеяния и осевой симметрии. Для оптически тонкого слоя (т, е. при То-С 1), подставляя в него приближенные выражения (9.1) и пренебрегая членами, имеющими порядок то. получаем 5v (т) = (1 - wv) Ivb [Т (т)1 + (UV [it (0) + /; (0)]. (9.2) Отсутствие здесь интегрального члена говорит о том, что не происходит ослабления излучеипя. испускаемого самой средой. Физический смысл этого явления состоит в том, что оптическая толщина среды настолько мала, что влиянием самопоглощення излучения можно пренебречь. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ГРАНИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ Рассмотрим уравиеиия (8,103) для иитенснвностей излучения на граничных поверхностях изотропно рассеивающего плоского слоя с диффузно отражающими границами. Учитывая приближенное соотношение (9.16) и пренебрегая членами, имеющими порядок То, перепишем уравнения (8.103) в виде (0) = J.b ii) + Pv" (-o), > 0. (9.3a) (Ч) = 2J.b(0 + (0), , < 0. (9.36) Решив эту систему относительно /;(0) н Iv Ы), получаем ;+ ,Qv ,B,v/v(r,) + p,ve.v/vHb) 1 ~ PivPav /- (то) -!vfvf,.(r2) + P2ve,v/v&(.) где для простоты опущен нидекс d прн р**. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [ 55 ] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |