|
| |
|
Главная Журналы Рассмотрим теперь преобразование неосесимметричной задачи переноса излучения к осесимметричной задаче. ИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИР Рассмотрим плоский слой изотропно рассеивающей среды, имеющий прозрачные границы т = О и т = То, на которые извне под некоторым углом падает излучение. Уравнение переноса излучения имеет вид ,хЩР + 1{. I, Ф) = гМ + 2П 1 /(т, р, фОрф. 0<т<то, -1<г<1 (8.205а) ф=0 М.=-1 при следующих граничных условиях: / (т, р, ф) 1,0 = -1 ii" Ф). > О (8.2056) f (т, р, <р) 1,=,, = Р2 ((. Ф). и < 0. (8.205b) где свободный член g(t) и граничные условия ф) и /2(И. ф) - заранее заданные функции. Рассмотрим теперь вспомогательную задачу, описываемую уравнением MbJ + Zx. р, ф) = й(т), 0<т<то, -1<р<1 (8.206а) с граничными условиями /о (т, р. Ф) U = 1 (1 ф). > О (•збб) /о(т, р. ф) 1,,= Ffi. ф), и < 0. (8.206b) Здесь интенсивность /о(т, р, ф) характеризует нерассеяниую составляющую интенсивности в задаче, описываемой уравнениями (8.205). Уравнение (8.206а) легко решить, разделив интенсивность /о (т, р, ф) на прямую /о" (т, р, ф), р > О и обратную !q (т, р, ф), р < О составляющие. Тогда получим [(см. уравнения (8.65) и (8.66а)1 г" „-Ct-t)/ii /(т, р, ф) = Л(и. Ф)е~4-\й(тО-ji-rfx, ц>0. /0"(т, и. Ф) = /2(И, ф)е~- -1(х) (8.207а) rfx, г< 0, (8.2076) Величину 2я 1 5 5 /о(т, и. фОиф можно вычислить следующим образом [см. (8.68)]; 2л i фвОц™-1 2л i \ \ Ы (т, ц, ф) 4- /о" (т, - Ц, ф)] rfl ф - 2я i J J [Л (и. Ф)e-4-=2(-Ц ф)e-<•-)/]X 5 g(T)£,(T-T)rfT + X di Ф + 2я + \ g(-C)l(T-T)dT . (8.208) Предположим, что интенсивность /(т, р, ф) в задаче, описываемой уравнением (8.205), можно представить в виде суммы интенсивности нерассеянного излучения /о(т, р, ф), полученной путем решения уравнения (8.206а), н интенсивности рассеянного излучения /i(t, р) (т, 1, Ф) = /о (т. 1, ф) + /, (т, р). (8.209) Подставляя (8.209) в (8.205) и используя (8.206) и (8.208), можно показать, что интенсивность (т, р) представляет собой решение следующей осесимметричной задачи: d/j (т, а) , . , . « , . , 1-i7-4-/i(T, i) = Go(t) + + 1- 5 /i(T, i)V» при 0<т<то, (8.210а) с граничными условиями: /(т, ()1г-о = 0, р >0, (8.2106) /i(t, 1Я,,, = 0, 1<0, (8.210b) где Go (т) - известная функция, описываемая выражением (8.208). Таким образом, мы свели задачу, решение которой зависит от азимутального угла [уравнения (8.205)], к осесимме-тричноп задаче, описываемой уравнением (8.210). АНИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ Рассмотрим плоский слой анизотропно рассеивающей среды с прозрачными границами, на одну нз которых (т ™ 0) под некоторым углом падает внешнее излучение. Для простоты предположим, что отсутствуют как внутренние источники энергии, так и внешнее излучение на границе х = то. Уравнение переноса излучения записывается в виде 2я 1 5 \ рЫНу м-» фОм-ф при 0т<То, - 1<р<1 (8.211а) и следующих граничных условиях; / (т, р, ф) Uo = /1 (м-, ф)- \>0, (х, м" ф) 1т=т м- < О- (8.2116) (8.211в) где F\{\i, ф)-заданная функция, р(цо)-индикатриса рассеяния, а fio - косинус угла между падающим и рассеянным лучами 10 = M-ti + Vrl VbTiCOS (ф - ф). (8.212) Рассмотрим вспомогательную задачу, описываемую следующим уравнением: \i "V +/q(x,h, ф)0 при 0<т<то. - l<ti<l (8.213а) н следующих граничных условиях: /о(т, ф)ио = Л(р. ф), l>o. (8.2136) о(х, м-, ф)их, = 0, м.<0. (8.213в) функция /о(т, р, ф) характеризует нерассеянную часть интенсивности излучения / (т. ji, ф) в решении задачи, описываемой уравнениями (8.211). Решения уравнения (8.213а) для прямой записывается в виде 2п I 2Л I S 5 РШЕ1Ц\ч>)е~У d\i d(\ (8.215) ф=0 11=-i Предположим, что решение 1 {x, ц, ф) уравнения (8.211а) можно представить суммой рассеянной и нерассеянной составляющих /(т, ti, ф)==/о(т, (Л, ф)4-Л(х, ц, ф), (8.216) где /о(т, ц, ф)-решение уравнения (8.213а). Подставив (8 216) в (8.211) и используя (8.213) и (8.215), можно показать, что функция /i(t, р,, ф) представляет собой решение следующего уравнения: ат--г(т м-. ф) = 2Я I ф=0 [1=0 2я I + \ рЫЛ (х, р, фOrflVф прн 0т<то, - 1<и<1 (8.217а) и следующих граничных условиях: Л(х, м-, ф)ио = о, м.>0, Л К ti, ф)( =0, р, <0. (8.2176) (8.217b) В общем случае учитывающую зависимость от азимутального угла задачу, которая описывается уравнением (8.217а), дюжпо /о(т, ц, ф) и обратной /о~(т, р, ф) составляю[цих интенсивности имеют вид 1о (т, ц, ф) = Fi (ц, ф)е", р, > О, (8.214а) 1о (t, р,, ф) = о, р < 0. (8.2146) Тогда величина > 2л I свести к последовательности осесиммегричиых задач в предположении, что индикатриса рассеянич pd-io) люжет быть разложена по полиномам Лежаидра, как в (8,39), а интенсивность может быть разложена в ряд Фурье в виде /i(T, ti, Ф)-Е М(г, l)siпfeф + J(т, ц)со5Йф]. (8.218) Подставляя эти разложения в (8.217а) и объединяя коэффициенты при cos/гср и sin/гср, получим последовательность уравнений с однородными граничными условиями для функций Is(x, р,) и 1с{х, р). Для простоты анализа рассмотрим представление уравнения (8.217а) последовательностью осесимметричных задач в частном случае, когда функцию Fi (р,, ф) можно представить дельта-функцией. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПУЧОК НАКЛОННО ПАДАЮЩИХ ЛУЧЕЙ Рассмотрим функцию Fi(p, ср) в виде Fi (l, ф) - f,6 (д, - д) б (ф1 - ф), (8.219) где б (л:) - дельта-функция, а fj - константа. Граничное условие (8.219) характеризует плоскопараллельнын пучок лучей интенсивностью fi, падающий на граничную поверхность т = О под углом 9i = arccos р, к оси т и под азимутальным углом фт Предположим, что индикатрису рассеяния piixo) можно разложить в ряд по полиномам Лежаидра [см. (8.37)]: Р Ы = Е апРп (м-о). «0=1. (8.220) Если до описывается выражением (8.212), то индикатрису рассеяния можно представить в виде р(До) = Е Е (2-бom)йГЯn(i)Я(дOcosm(ф-фO, (8.221а) т=0 п=т а!Га„ S!7!;!! . п = т.....N, 0<т<А, n {п-\-т)\ {1 при т = О в остал (8.2216) (8.221в) = 0, .льных случаях. Здесь (8.221а) получено нз (8.39а) путем замены порядка суммирования в правой части этого выражения. Теперь разложим интенсивность /i(t, ц, ф) в ряд Фурье [2]: /i (т, д, ф) Е 1" (т, д) COS k (ф1 - ф). (8.222) Соотношения для теплообмена излучением в непрозрачных средах 335 Подстановка (8.221) и (8.222) в (8.217а) дает cosfe (Ф, - Ф) [i + 1" (т. ц) = N г- N =Ecosяz(ф,-ф) /.-2(2-б,,)аГР:(д)Р«(д)1 + fe=0 m=o ns=m -- i=-l (2 -бот) \ COS А (ф1 - ф) COS m (ф - ф) i/ф . (8.223) Интеграл по ф в правой части можно преобразовать к виду J COS k (ф, - ф) COS m (ф - ф) d<f = = 6mfe" [бот + COS m (ф5 - ф)], (8.224) {1 при m = k, О в остальных случаях. После подстановки (8.224) в (8.223) суммирование по в правой части (8.223) исчезает. Для удобства в ролученном выражении заменим верхний индекс m на А, а сумму в левой части представим двумя слагаемыми: от /г = О До \i от k = N -\-\ до оо. В результате получим 2] cos k (ф, - ф) Гр 1 + (т, ,)14 -f С05МФ,-Ф)[и% + /Т. р)]=. =со5Цф,-Ф) -f,e-yJ; {~kHpшn{lд =0 L n=k (8.22) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |