|
| |
|
Главная Журналы уравнению переноса излучения: \lix,\x)d\x\ 0<T<To (8.!25a) с граничцыми условиями [см. (8.99) для случая серой среды] 1" (0) = Jb(Ti) + 2pf \ Г (О, - /) firfp, р > О, (8.!256) ~ W = 2h{T2) + 2р2 \ и) \dii\ 1х<0, (8Л25в) где т - оптическая толщина, а /6(7) - интенсивность излучения черного тела, т. е. hiT) = (8.!25г) Интегральный член в уравнении переноса излучения (8.125а) можно исключить с помощью соотношения (8.124а). В результате получим ILSl / ] при о < т < То. (8.126) Заметим, что для серой среды в условня.х радиациоииого равновесия уравнение переноса излучения (8.126) эквивалентно соответствующему уравнению для поглощающей, излучающей, но нерассеивающей серой среды Если уравнение (8.126) решить совместно с граничными условиями (8.1256) и (8.125в) относительно интенсивности/(т, р.), то, подставив полученное выражение для интенсивности в (8.124а) и (8.124в), получим необходимые соотношения для расчета распределения температуры и плотности потока результирующего излучения в среде. Однако в настоящей главе мы уже рассматривали формальное решение уравнения (8.126) с используемыми здесь граничными условиями и получили формулы для G(t) и q{x). Поэтому, избегая повторений, можно просто записать формальные соотношения для G(r) н qx), вос- пользовавшись соответственно (8.73) и (8.84): G (т) = 2п Г{0)Е2{х)-\-/ (To)£2(To~T)-f (8.127) q (т) = 2п - 2я (0) 3(т) -i-hlT (т)] 2(т - т) dz Г (То) (То - т) + 5 [ Г (т)] £"2 (т ~ т) dx (8.128) Чтобы аолучить эти соотношения, мы опустили индекс v для серой среды и заменили функцию источника 5v(t) на интенсивность черного тела 1ь{Т). Здесь /+(0) н /-(то)-иитеисивностм излучения на граничных поверхностях, для которых формальные решения могут быть получены с помощью (8.110) в виде (0) - еЛ №)-f 2pf {/-(т,) 3 Ы + -h\h[T{T)lE2iT)dz г (т,) = е,/, {Т,) -f 2pf { / (0) £з (Ч) + с, . + 5/ИГ(т01 E2{x,~x)dx (8.129а) (8.1296) где Tl и Гг - температуры границ т = 0 и т = то соответственно. Теперь получим аналитические выражения для распределения температуры и плотности потока результирующего излучения в среде. Рассматривая соотношение (8.127) совместно с условием радиационного равновесия (8.124а), получим паР (т) = ~ [п! (0) Е (т) + я/ (то) Е (то - т) + Ч-поТЧх) E{\x-z}\dx (8.130 а) Это выражение можно представить в виде паТ {%) - я!~ 1 (0) - л/- (То) ~ 2 л/ (0) - л/~ (То) Введем теперь безразмерную функцию 0(т) л/+ (0) - л/-(То) Подставляя (8 131) в (8.1306), получаем (х) = т £2(х)+ (хО £i(T-T)rfT (8Л306) (8ЛЗ!) (8.132) Уравнение (8Л32) представляет собой сингулярное интегральное уравнение Фредгольма второго рода для безразмерной универсальной функции 0(т). Уравнение (8Л28) для плотности потока результирующего излучения 9*(х) можно записать в внде q{x) л/ (0) - л/- (То) J Л/+(0) - л/-(То) (8 Л 33) где величина h[T{x)\ за\1енена величиной пдр(х)/п. Подстановка (8.131) в (8.133) дает л/+ (0) - л/~ (То) £3(Х)+50(ХО£2(Т-ТО rfx-О ~\Q{z)E2{r-x) dx = Q, (8Л34а) где Q - безразмерная плотность потока излучения. В условиях радиационного равновесия плотность потока излучения q в среде не зависит от х; следовательно, Q -константа, и соотношение, определяющее Q, можно получить, задавшись т = 0. Тогда получим Q = ! 2 0 (тО Е2 (тО dx. (8.1346) После того как безразмерная универсальная функция 6(х) найдена путем решения уравнения (8Л32), безразмерная константа Q может быть рассчитана с помощью (8.1346). Способ определения действительного распределения температуры Т{х) и плотности потока результирующего излучения q зависит ог типа граничных условий. В простейшем случае это черные границы, для которых /"(0) н /~(то) известны, т. е. (8.135) В этом случае распределение Г(х) можно непосредственно получить из (8Л31), а g"" -из (8.134а). Для диффузно отражающих и диффузно излучающих границ интенсивности излучения на границах /(то) н [/"(0)-/"(хо)], входящие в выражения (8Л31) и (8Л34а), могут быть связаны простыми соотиоше-ннямн с темперагурами, степенями черноты граничных поверхностей и плотностью потока излучения q. Этот вопрос будет рассмотрен в гл. II на примере некоторых частных случаев; будут также обсуждены полученные численные результаты. Другой подход для случая серой среды. Другой подход к решению уравнения переноса излучения в условиях радиационного равновесия состоит в исключении из уравнения (8.125а) члена h[T{x)] с помощью соотношения (8Л24а). При этом получаем а/ (т, й) f/(X, = \x)dii, (8.136) Граничные условия (8Л256) и (8Л25в) можно записать в виде 1{0) = В: 2pf\l{0, -ix)ixdii, IX > О, (8.137 а) о 1 (то) = 82 + 2р 5 (То, ]Х) dii, IX < 0. (8.1376) После решения интегрального уравнения (8Л36) с граничными условиями (8 137) и определения /(х, р.) можно найти соответственно распределение температуры и плотности потока резуль тирующего излучения в среде с помощью (8Л24з) и (8.124в). Если плотность потока постоянна [см. (8.1246)], то ее следует рассчитать лишь в одной точке. Применение такого подхода ч полученные с его помощью результаты рассмотрены в гл. 1!. НЕСЕРАЯ СРЕДА Если радиационные свойства сильно зависят от частоты, при расчете переноса излучения необходимо учитывать несерость среды. К сожалению, в общем случае учет селективности представляет собой очень сложную задачу. Хауэлл и Перлмуттер [11] использовали метод Монте-Карло для решения задачи переноса излучения в плоском слое несерой среды. Для упрощенного описания зависимости радиационных свойств среды от частоты были -предложены различные модели. Например, поглощение излучения углекислым газом, водяным паром и стеклом происходит в ограниченных областях спектра, за пределами которых поглощение практически равно нулю. В таких случаях для описания зависимости коэффициента поглощения Xv от частоты можег быть использована модель полосы (фиг. 8.8). Согласно этой модели, коэффициент Ki предполагается постоянным в пределах каждой полосы Avj и равным нулю в интервалах между соседними полосами. Такая модель рассматривается в работах [12, 13]. Спэрроу и Сесс [14] использовали модель трех полос для описания зависимости коэффициента поглощения углекислого газа от частоты, а Кросби и Висканта [15] применили модель двух полос для реигения задачи переноса излучения в несерой среде. Если спектр поглощения состоит из узких полос или спектральных линий, для упрощения задачи переноса излучения в несерой среде может быть использована модель узкой полосы. Согласно этой модели, ширина полосы предполагается достаточно Д*21  vi v2 j-a Фиг. 8.8. Модель полосы. inv Лс liv Фиг. 8.9. Модели «частокола», а -равномерный частокол»; б -общий случай. малой, так что функция Планка hb{T) не меняется существенно в пределах полосы и ее можно вынести из-под знака интеграла. Например, для спектральной линии или узкой полосы шириной Avi с центром Vf справедливо следующее приближение: (8.138) где /61(7)-значение функции Планка при частоте Vi, соответствующей центру линии или полосы. Если полоса широкая, то ее можно разделить на несколько достаточно узких полос и каждую рассматривать с помощью модели узкой полосы. Кросби и Висканта [16,17] использовали модель узкой полосы для решения задачи теплообмена излучением в плоском слое несерого газа, на который извне падает коллимированный поток излучения, а также в плоском слое с внутрениимн источниками энергии. На фиг. 8.9 представлены так называемые модели «частокола», которые могут быть использованы для описания зависимости коэффициента поглощения от частоты. Модель равномерного «частокола» состоит из спектральных линий одинаковой высоты и ширины, равноотстоящих друг от друга и наложенных на серый фон. В большинстве звездных спектров, например, спектральные линии видны на фоне континуума. Модель «частокола» в общем случае состоит из линий (или узких полос), имеющих различную высоту, ширину и расположенных на разных расстояниях друг от друга. Эта модель первоначально была предложена Чандрасекаром [18], а затем была использована авторами работ [19-22] для решения задач теплообмена излуче- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |