|
| |
|
Главная Журналы око 258 РЕЗУЛЬТАТЫ В задачах конвективного теплообмена искомой величиной является число Нуссельта Локальное число Нуссельта определяется в виде Nu = - (7.19) Подставляя (7.16) и (7.17) в (7.19) и заменяя в полученном выражении eaTt/fe на l-s/ujvx в соответствии с (7.10а), получим /1=1 /1=1 (7.20a) где число Рейнольдса определяется в виде Re = (7.206) Разделив один ряд на другой, можно записать (7.20а) следующим образом: JiH---е[ (0) - [е; (О) - е( (О)] i - ... (7..i) Подставляя aj/aj нз (7.186) в (7.21), получим - - e( (0) - 4 62 (0) J (7.22) Вычисленные значения 9[ (0) и 62(0) приведены в работе [18] е; (0) -0,4059 н 82 (0) = - 0,4803. (7.23) Тогда локальное число Нуссельта можно представить в виде Nu = 0,4059-0,620 (7.24) Первый член в правой части (7 24) представляет собой локальное число Нуссельта для ламинарного пограничного слоя на плоской пластине при постоянном тепловом потоке на стенке. Второй член учитывает в первом приближении влияние излучения на граничной поверхности на конвективный теплообмен Сесс [4] показал, что в таком приближении мало пользы из-за медленной сходимости ряда. 7.2. ВЫНУЖДЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ ВНУТРИ КРУГЛОЙ ТРУБЫ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ С ИЗЛУЧЕНИЕМ Рассмотрим стационарное полностью развитое течение прозрачного газа внутри круглой трубы прн равномерно распределенной плотности теплового потока на стенке qw Координата входного сечения трубы д: - 0; газ во входном сечении имеет постоянную температуру Tg\ и нагревается до средней температуры Tg2 на выходе [x - L). На фиг. 72 представлены схема течения для рассматриваемой задачи и система координат Подводимый к стенке тепловой поток отводится от внутренней поверхности трубы конвекцией и излучением, а наружная поверхность теплоизолирована. Температура окружающей среды вблизи открытых концов трубы (д: = О и д: - L) соответственно равна Т\ н Т2. Внутренняя поверхность трубы непрозрачная, серая, диффузио излучающая и диффузно отражающая, имеет постоянную степень черноты е. Предполагается, что справедлив закон Кирхгофа Необходимо определить температуру поверхности трубы и температуру газа в зависимости от расстояния вдоль оси трубы. Ниже будет представлен приближенный метод решения этой задачи, когда рассматривается газ с осредненной по радиусу температурой и тем самым коэффициент теплоотдачи считается заданным заранее Следует иметь в виду, что такая постановка задачи является ограничеппой, так как излучение на стенке, теплопроводность и конвекция связаны между собой с помощью нелинейного граничного условия. Пусть Tg{x)-осредненная по радиусу температура газа, Щп - средняя скорость, h - коэффициент конвективной теплоотдачи, который считается постоянным по всей длине трубы. I а, Фиг. 7.2. Теплоотдача путем вынужденной конвекции внутри круглой трубы при граничных условиях с излучением. Рассмотрим элементарный цилиндрический объем длиной dx и радиусом а в окрестности координаты х (фиг. 7.2). Уравнение баланса энергии для этого объема имеет вид ритсла dx = h [Г {х) - Tg [х)] 2ла dx, (7.25) dTg {X) ~\r,(x)-~Tg{x)\ dx pUmCpC с граничным условием Tg{x):=Tgx при х = 0. (7.26а) (7.266) Уравнение (7.26) содержит два неизвестных: температуру газа Tg{x) и температуру стенки трубы Т[х). Для получения дополнительного соотношения запишем уравнение баланса энергии иа поверхности трубы, приравняв тепло, подводимое извне, теплу, отводимому от поверхности трубы путем конвекции и излучения, т. е. , = -(x)H-/(.v), (7.27) где (х)-плотность конвективного теплового потока q4x) = h[T{x)-TAx)l (7.28) а коэффициент теплоотдачи h считается заданным. Плотность радиационного теплового потока q[х] можно выразить с помощью уравнения (5.10а) следующим образом: aT\F{x)-JtTtF{L~x)+ J R{x) dFax-dx.\x~xi (7.29) где jR (x) ~-плотность потока эффективного излучения с цилиндрической поверхности; F [х) - диффузный угловой коэффициент между полосой [а, dx) в окрестности координаты х и входным сечением х = 0; F {L - х) - диффузный угловой коэффициент между полосой [а, dx) в окрестности координаты х и выходным сечением х - расположенным на расстоянии L - х; (/dx-d*, ~ диффузный элементарный угловой коэффициеит между полосой (а, dx) в окрестности координаты х и полосой {a,dx) в окрестности координаты х, отстоящими друг от друга на расстояние \х - х\. В уравнении (7.29) первый, второй п третий члены в квадратных, скобках представляют собой соответственно излучение от входного (х = 0), выходного [х = L) сечений и от внутренней поверх1ости трубы, падающее на полосу (а, dx) в окрестности координаты х. Наконец, нз уравнения (5.106) можно получить выражение для плотности потока эффективного излучения > R [X) = art [х] - -Ц q [х) (7.30а) или, подставляя q{x) из (7.27) и (7.28) в (7.30а), R{x) - 6Т1 {х) - -Ц {q, h[1 {X) - ТАх)]У (7.306) Уравнения (7.26) - (7.30) дают полное математическое описание задачи. УРАВНЕНИЯ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ Предыдущие уравнения можно представить в безразмерном виде с помощью следующих безразмерных величин: е = (а/ц,)*Т ~ безразмерная температура, р = - безразмерный поток эффективного излучения, S = 4ft/pwCp - число Стантона, h*={hlq) ((7а,/а)-безразмерный коэффициент теплоотдачи; д: . 2а Тогда уравнение (7.26) преобразуется к виду - = 5[е,(Е)~е()] с граничным условием (l) = 6gi прн 1 = 0. (7.31) (7,32а) (7.326) При совместном рассмотрении уравнений (7.27)~(7.29) получаем 1 = h* {К (Е) - е. (I)] + Р (Ю - [el/ (Ю + ejf {U -1) + + \ m)dFdi-<iiAi-v) \ Ш)dFdl-dVлll• (7.33) а уравнение (7.306) преобразуется к виду {1-й*[е.(1)-ел1)]}. (7.34) P(l) = eUE)--" уравнения (7.32) - (7.34) представляют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями 6(1), 8g() и р(). Угловые коэффициенты f {)и F{li-~l) в приведенных выше уравнениях могут быть получены из (5.84) Л + г F{z) (7.35) где z = l или 1, - . Элементарный угловой коэффициент dFdi-di. \i-iu согласно (5.85), записывается в виде dFdi-dl. г г + /2 1 (7.36) где Z = -- ЦИЛИНДР с ЧЕРНЫМИ СТЕНКАМИ При последующем анализе внутренняя поверхность цилиндра предполагается серой, диффузно излучающей и диффузно отражающей Если же предположить, что поверхность цилиндра черная, то в приведенных выше уравнениях надо принять 8=1. Тогда уравнение (7.34) упрощается Р(Ю = е(Е). уравнения (7.32) остаются без изменений, т. е. " =s[e, (Ю~е,(Ю]. при 1 = 0. (7.37) (7.38а) (7.386) Подставляя (7.37) в (7.33), получим 1 = 1г [8, ц) ~ [щ + ei ii) ~ [efF -f QiF (g + \ Ql,{l)dFdi-diAi-i)+ \ Ail)dFdi-c . (7.39) Неизвестные распределения температуры Qw{l) и Qg{l) определяются путем совместного решения уравнений (7 38) и (7.39). Хотя эти уравнения и ие имеют аналитического решения, их, несомненно, можно решить численно, используя быстродействующие ЭВМ. Уравнения (7.38) и (7.39) были решены в работе [8] прямым численным интегрированием для случая цилиндра с черными стенками. Однако область применимости этого метода ограничена короткими трубами (gj = 5 -i- 10), поскольку для приближенного вычисления интеграла в случае длинных труб необходимо делить длину иа очень большое число отрезков, что приводит к системе из очень большого числа уравнений, которую невозможно точно решить стандартным матричным методом. Поэтому, чтобы включить в рассмотрение и длинные трубы, было использовано приближение экспоненциального ядра [8, 9]; точность была проверена путем сопоставления результатов для коротких труб с результатами, полученными прямым численным интегрированием Метод экспоненциального ядра основан на приближенном представлении диффузных угловых коэффициентов экспоненциальными функциями. Для иллюстрации рассмотрим применение этого метода в задаче для цилиндра с черными стенками. Диффузные угловые коэффициенты F{z) и dFdi~di.ie\ в уравнениях (7.35) и (7.36) можно представить экспоненциальными функциями в виде [19] F{z) Fdl-dV.\г\ .-2г (7.40) (7.41) Приближенное выражение (7.41) впервые было использовано Бакли [20], который получил хорошие результаты. Подставляя (7.40) и (7.41) в (7 39), получим 1 = h*[8, {I) - % {%)] -f [D ~ [1 8?- -f ]- Qle~(~) + (7.42) Интегральное уравнение (7.42) можно преобразовать в обыкновенное дифференциальное уравнение, дважды продифференцировав его по и исключив из полученного выражения член, содержащий интеграл, с помощью уравнеиня (7.42) и член dQgjd - с помощью уравнения (7.38а). В результате получим*) Iff + 48i н-1281 т {) - S/z- -f й- (S2 ~ 4) 8, [1) - (S - 4) Og (I) - 4. (7.43) Уравнение (7.43) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка относительно функции 8(1), и его нужно решать одновременно с обыкновенным дифференциальным уравнением (7.38) относительно функции е(). Необходимые для решения уравнения (7.43) два граничных условия получаются из исходного интегрального уравнения (7.42) при g = 0 и E = Il 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |