|
| |
|
Главная Журналы xi х2 h (5.49а) (5.496) (5.49в) Следует заметить, что ядро К{х,г\) -симметричное. После решения интегрального уравнения (5.48) и определения неизвестной функции ц>{х) можно определить плотность потока результирующего излучения на поверхности пластины [см. (5.105)]: q{x) = r=-[T-R{x)], (5.50а) = Т[1-еф(х)], е#1. (5.505) Полное количество тепла Q, отводимое в единицу времени с единицы ширины пластины в окружающее пространство, равно U2 Г Ш (5.51а) -L/2 •- -Л/2 q= q{x)dx = Y~ dPL- R{x)dx J ({){x)dx вдТ* 1 - e -L/2 , 1. (5.515) РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ Функционал, соответствующий уравнению (5.48), имеет вид [см. (5.27)] 4i 4i / = я J \ К{х, r\){x) (ti) dx d\\ + + 2 \>{x)dx- 5 {>{x)fdx. (5.52) Выражения для Я и К{х,х\) уже приводились ранее. Представим ф(л:) в виде полинома по степеням х, исключив в силу сим- метрии члены с нечетными степенями. Ограничимся первыми двумя членами разложения (р{х): ц,{х)С1-\-С2Х, (5.53) где Ci и С2 - постоянные, которые необходимо определить. Подставляя (5.53) в (5.52) и производя интегрирование, получаем / = (1 е) {cfa + сса + фз) - с? ~ (5.54) fi -12 йа 9. ~\~ 2С, -\- р. 6 "Г2 где tJi, 122, 3-известные постоянные, зависящие от у, которые приведены в работе [4] Дифференцируя (5.54) по и Сг и приравнивая производные нулю, получаем систему уравнений 2с, [а, (1 - 6) - 1] + С2 la. (1 - е) - -1 = - 2, (5.55) «2 (1 - е) - -i-] + 2с2[аз (1 - е) - = (5.56) Решение этой системы позволяет определить постоянные Ci и С2, зная которые можно с помощью выражений (5.505) и (5.515) иайти распределение плотности потока результирующего излучения и суммарное количество тепла, отводимое в единицу времени с единицы ширины пластины: = Т[1-в(..+.,х)], (5.57) 1 ~£ точность ВАРИАЦИОННОГО РЕШЕНИЯ Точность вариационного регнення можно повысить, если со хранить в разложении функции (р{х) члены более высоких порядков. Однако точность нельзя оценить, не проводя сравнения получаемого результата с точным решением. Табл. 5.1 позволяет сравнить значения функции ф(х), полученные вариационным методом с использованием полиномов второй и четвертой степени, с точным решением, полученным численным интегрированием. Видно, что вариационное решение при представлении функции в виде полниома четвертой степени дает достаточную для большинства приложений точность. На фнг. 5.2 показано влияние расстояния между пластинами и Степени черноты их поверхностей на локальную плотность теплового потока q{x)l&dT. С уменьшением расстояния между пластинами возрастает неравномерность в распределении локальной плотности теплового потока. s = o,r OA £ = 0,5 E =0,9  e = 0,5 Фнг. 5.2. Влияние расстояния между параллельными пластинами и степени черноты на локальную плотность теплового потока [10], В табл. 5.2 проводится сравнение значений безразмерного полного теплового потока {QIL)fdT*, полученных с помощью обобщенного зонального метода н упрощенного зонального метода. Сравнение показывает, что упрощенный зональный метод Таблица 5.1 Сравнение значений функции ф (х), рассчитанных вариационным методом и методом численного интегрирования [4]
позволяет достичь хорошей точности при h/L > 0,5. При уменьшении расстояния между пластинами упрощенный зональный метод дает сильно завышенные значения теплового потока. 5.5, ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ КОАКСИАЛЬНЫМИ КРУГЛЫМИ ДИСКАМИ Рассмотрим два одинаковых параллельных коаксиальных круглых диска радиусом а, расположенных на расстоянии h друг от друга (фиг. 5.3). Поверхности дисков непрозрачные, серые, днффузно излучающие и днффузно отражающие, степень
Y = 0,1, р=0.9
3,25 2,95 2,97 Фиг. 5.3. Теплообмен излучением между двумя круглыми дисками, поддерживаемыми при постоянных, но различных температурах Tj и Гз. ®  Таблица 5.2 Сравнение значений безразмерного полного теплового потока между параллельными пластинами [(Q/Z,)оГ*], полученных с помощью обобщенного и упрощенного зональных методов [10[ черноты дисков одинакова и равна е. Нижний и верхний диски поддерживаются при постоянных, но различных температурах Ti и Т2 соответственно, а внешняя среда -при температуре, равной нулю (т. е. энергия излучения, попадающего в пространство между дисками нзвие, пренебрежимо мала). Определим распределение плотности потока результирующего излучения по поверхности дисков. Подобные задачи были рассмотрены в работах [11 и 12]. Здесь будут приведены основные уравнения и проанализированы некоторые результаты. Примем за начало отсчета координат ri и Гг центры дисков О] и О2 соответственно. Интегральные уравнения для плотностей потоков эффективного излучения R\{ri) н /?г(2) для нижнего и верхнего дисков получаЮ1Ся из (5.9) в виде R, (г,) = гаЦ + (1 - е) \ (г,) dr, ,,. (5.59) (5.60) г,=о где dFdr,-dr, -лмффузный угловой коэффициент между элементарным кольцом [dri, Г1) на диске 1 и элементарным кольцом {dr2, Г2) на диске 2. Диффузный элементарный угловой коэффициент dFdr,-drt можно определить с помощью метода, описанного в разд. 3.6; он равен dFdr,-dr, = r/,2 , 9. . >\2-ГТТГ 2df2, (5.61) (5.62) а dFdr,-dri можно получить из соотношения взаимности dFdr,-dr, = 77 Fdr.-dr,. Уравнения (5.59) и (5.60) представляют собой два интегральных уравнения для функций Ri{ri) и R2{r2), которые необходимо решать совместно. РАЗБИЕНИЕ НА БОЛЕЕ ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ Так как уравнения (5.59) и (5.60) линейны относительно Ti {i= 1 или 2), их решения могут быть получены путем суперпозиции решений более простых задач. Рассматриваемую задачу можно представить в виде двух более простых задач для случая T2>Ti (фиг. 5.4). Одна из задач состоит в расчете теплообмена излучением между двумя круглыми дисками, имею-
Фиг. 5.4. Разбиение задачи о двух параллельных круглых дисках на две более простые задачи. щимн ту же геометрию и радиационные свойства, как на фиг. 5.3, но одинаковые температуры Ti (при нулевой температуре окружающей среды). В этом случае распределение плотности потока эффективного излучения R{ri) или /?(гг) по поверхиос1И дисков удовлетворяет следующему интегральному уравнению: R(r,) = edTt-\-{\-s)\R{r)dF,,,, (5.63) так как в силу симметрии плотности потоков эффективного излучения для обоих дисков равны при ri = Г2 Во второй задаче рассчитывается теплообмен излучением между двумя дисками, имеющими ту же геометрию и радиационные свойства, как на фиг. 5.3, но температура первого диска равна нулю, а температура второго равна (Гг - j}) (температура окружающего пространства равна нулю). В этом случае плотности потоков эффективного излучения R*(г,) и 2(2) удовлетворяют следующей системе интегральных уравнений: R\{r,)(l-e)\Rl{r,)dF,, ,„ (5.64а) Rl{r,) = eS{Tl-T\) + (l-e)\Rl(r,)dF,, ,,, (5.646) Плотности потоков эффективного излучения R\{ri) и R2{2) для исходной задачи [уравнения (5.59) и (5.60)] получаются суперпозицией решений двух приведенных выше простых задач, г. с. (i)=(i)+;(i) (-" R2{h) = R{r2)+Rl{-2)- (5-656) Уравнения (5.63) и (5.64) можно записать в безразмерном виде (5.66) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [ 34 ] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||