Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166

Таблица 24. Основные тождественные соотношения булевой алгебры

Остаточное тождество

Дуальное тождество

Название тождества

а VO = c

а] = а

а V I = I

вО = 0

aVb=bVa

аЬ = Ьа

Коммутативность

(а V &) V с = а V (& V с)

(аЬ) с = а (Ьс)

Ассоциативность

афу с) = аЬУ ас

аУ Ьс=(ау Ь){ау с)

Дистрибутивность

ау а = а

аа - а

а\/ аЬ - а

(а (а V &) = в

Поглощение

ab\/ab = b

(в V 6) (а V Ь) = 0

Склеивание

аУ Ь = аЬ

аЬ=аУ b

Правило Моргана

a\/b==ab

аЬ - ауЪ

Правило Моргана

aVa=l .

аа = 0

1 =0

а(ау b) = ab

аУ аЬ==а\/b

НЫХ нормально разомкнутых контактов, следовательно, XiX2Xs- О, если, по крайней мере, одна переменная Xi, х или Хд равна О, XxXsXs- Ь если все переменные равны 1.

Логическое отрицание (инверсия) это операция с кодовым сигналом условно обозначается НЕ, графически - чертой (х) и состоит в создании сигнала, обратного входному. Если на входе подан сигнал 1, то на выходе должен быть сигнал О, и наоборот.

Основные тождественные соотношения булевой алгебры приведены в табл. 24. Доказательство полноты основной системы может быть получено указанием правила представления любой переключательной функции в виде суперпозиции функций основной системы. Для этого введены следующие обозначения:

1. Обозначение двух видов входной переменной х.

Переменную х без отрицания обозначим х, ..... .

переменную х с отрицанием обозначим х", :

X при а = о, X при а = 1.

2. Дизъюнкцию от п аргументов х,- обозначим V Xi> т. е. Xi V

V = .V

3. Набор аргументов х, т. е. выражение составного кодового сигнала, обозначим

X - (Xj, Xj, . • • 1 л:„).

Тогда

/(1, 2.....==/()-

(7.6) 221



Для любой функции и для любого i возможно соотаошенне

/ W = 4fixi, ... , Х{ 1, О, Xii, ... , x„) V

V 4/(1 • • • . i-i 1 .+ 1 • • • • • . (7.7)

которое легко проверить, подставляя в левую и правую части значения л;,- = О и л;,- = 1. Применяя соотношение (7.7) последовательно к переменной х, х, .... л;„, получим

/ М = V • • • <"/ Й • - . . (7.8)

где a = ai, «2 ••• п); «,-G(0, 1), а дизъюнкция берется по всем а. Представление функции по форме (7.8) называется совершенной

дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции /(л;„). Из этого названия следует, что дизъюнктивные члены {xf\ х.....л;"") формируются из всех аргументов х, х, .. . , л;„ функции / (л;) (совершенная форма), внешней функцией разложения является дизъюнкция (дизъюнктивная форма), а количество уровней равно двум, а именно: дизъюнкция конъюнкций (нормальная форма). Рассмотрим пример. Для функции /в(л;, у) СДНФ имеет вид

h У) = 7е (О, У) V х% (1, ) = А7в (0. 0) V Ai/e (0. 1) V

VWeO. 0)VV/6(i. 1).

Поскольку для функции /е выполняются условия

/е(0, 0) = 0; /е(0. 1) = 1; /«(1, 0) = 1 и fS, 1) = 0.

/е {х. у) = ЗсуО V ху1 V ху1 V хуО = ~xy\J ху.

Использовать СДНФ удобно при проектировании схем в основной системе функций (булевой алгебре -И, ИЛИ. НЕ). Однако СДНФ не является единственной совершенной нормальной формой (СНФ). Из СДНФ функции f(x, у) и из СДНФ f{x, у), применяя правило Моргана (табл. 24), можно получить остальные семь СНФ. Для функции f,{x, у):

hjx. У) = ху\/ ху = (СНФ И/ИЛИ)

. =ху\/ ху=Ш)Щ= (СНФ И-НЕ/И-НЕ)

= (Д/ЖРЛЛу)= (СНФ ИЛИ/И-НЕ)

= Щ/Т) V WW) (СНФ ИЛИ-НЕ/ИЛИ)

/б(х, у) = ШТ) = шн = = (СНФ И/ИЛИ-НЕ)

= (СНФ И-НЕ/И) .

-{х\/у){х\/ у)= (СНФ ИЛИ/И)

= Сх\/у){х\/ у) = Сх\/у\/{х\/ у) (СНФ ИЛИ-НЕ/ИЛИ-НЕ).

Представление произвольной переключательной функции в виде СНФ позволяет строить комбинационные схемы, работа которых описы-



Таблица 25. Условные обозначения основных логических элементов

Название логического элемента

Реализуемая функция

Условное обозначение логического элемента

ИЛИ НЕ

ИЛИ-НЕ И-НЕ

2И-ИЛИ

2И-ИЛИ-НЕ

fi (х, у) fi(x, у)

fl2 W

fs (X, у) hi (х. у)

fsUAx, у), h(z, t)

&

&

вается сколь угодно сложной системой переключательных функций из элементарных комбинационных схем (логических элементов), например, И-НЕ, а также ИЛИ-НЕ. Логические элементы реализуют все функции, из которых состоит СНФ. Такие наборы логических элементов называются функционально полными. В табл. 25 приведены условные обозначения некоторых наиболее часто употребляемых логических элементов.

В электрических логических элементах используются кодовые сигналы трех типов - потенциальные, импульсно-потенциальные и импульсные. На базе интегральных элементов наиболее распространены логические схемы ТТЛ с потенциальными сигналами.

При полном наборе логических элементов построение комбинационной схемы осуществляется в такой последовательности. По таблице соответствия входных и выходных кодовых сигналов схемы каким-либо способом (например, при помощи одной из совершенных нормальных форм) подлежащая реализации функция или система функций представляется в виде суперпозиции функций, реализуемых логическими элементами. В соответствии с полученным выражением производится соединение логических элементов, которые и образуют подлежащую построению схему.

На рис. 7.3 показана реализация функции [{х, у) в различных системах элементов. Здесь предполагается, что аргументы л;, г/ и их отрицания хи у формируются вне схемы. Если это не так, то для формирования X и у применяются элементы НЕ,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166