Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [ 61 ] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166

При синусоидальном законе изменения сигнала

/д= /Тц = 200я Уап % Van max = 200д /д,

где Van = Aa„/Xi„ - приведенная погрешность от аппроксимации в процентах; /д == 1/Гц - частот дискретизации.

Если при дискретизации случайного стационарного эргодического сигнала спектр сигнала неизвестен, но известна автокорреляционная функция сигнала г(т:), то интервал дискретизации Тц и частоту дискретизации /д можно определить по ;(т) и по заданой СКО погрешности от аппроксимации.

При ступенчатой аппроксимации случайного сигнала по средней ординате интервала X{tk) мгновенное значение погрешности от аппроксимации Аап внутри интервала дискретизации равно

Дисперсия Аап внутри интервала шириной Тц/2 для стационарного эргодического сигнала при известной нормированной автокорреляционной функции /(т)== Rj{T)/a{X) будет

о2(Аап) = М lXitk)-X{h + т\ (6.17)

Для случайного стационарного центрированного эргодического процесса

М [Х(Щ - М [Х (h + t)] = Rx (0) - (X); (6.i8)

М [X ih) X (ti +1)] = Rx (0,5Тц) = 0- (X) (0,5Тц). (6-19)

Тогда после подстановки (6.18) и (6.19) в (3.17) получим о(Аап) = 2о(Х)[1-г(0,5Тц].

Приведенная погрешность от аппроксимации для центрирован, ного случайного сигнала с размахом ± Зо (X) составит

Кусочно-линейная аппроксимация. При использовании степенных полиномов первого порядка, т. е. при кусочно-линейной аппроксимации, согласно (6.14) -

Щ (4 + т) = X (tk); Ci {tk -f т) = П (т/Тц);

02 (tk + т) = Тд [X {tk + Тц) - X {tk)]; C{tk+c)=cn{r/T).

Тогда восстанавливаемый сигнал

Хвссст(О = S lat{tk + т)Ci{tk + г) + щ{tk + т)С,{tk -f т)1 = • = t[X {tk) П (т/Тц) + [Х {tk +Т)-Х {tk)] ТцЧП (т/Тц)}.



При кусочно-линейной аппроксимации кривая в промежутке между двумя известными значениями заменяется отрезком прямой. Погрешность при этом будет наибольшей на тех участках изменения функции, где вторая производная достигает наибольшего значения.

При синусоидальном законе изменения сигнала погрешность Дап будет наибольшей в зоне максимума (рис. 6.И, б)

Дап. м = 1 - Х„ах = Хтах COS ((йГц/2) - Хшах = Хшах [COS (я/Тц) - 1 ].

где / - частота изменения X.

Приведенная погрешность от аппроксимации

Van = 100 о/о = [С05(л/Гц) - 1] 100 %. •

Принимая во внимание, что при малых л/Тц

cos (я/Гц) - 1 = -0,5 sin (д/Гц) = -0,5ит1 После подстановки получаем

.„ОООо,, д

/д = Я/1/1/2уап. (6-20)

Если сравнить формулы для /д при ступенчатой и кусочно-линейной аппроксимации, то можно убедиться, что /д в первом случае должна быть во много раз больше. Так, для синусоидальной функции /д при ступенчатой аппроксимации должна быть примерно в 30 раз больше, чем при кусочно-линейной.

Для сигнала любой непрерывной и гладкой формы частота дискретизации при кусочно-линейной аппроксимации определяется по формуле, предложенной В. Н. Хлистуновым

/д = /Хтах/вДап." 7ап = -Сах/в/де,

где - максимальное значение второй производной.

Для случайного сигнала, ограниченного по спектру и модулю при . кусочно-линейной аппроксимации,

We I I

Для случайного стационарного эргодического сигнала [41] при кусочно-линейной аппроксимации дисперсия погрешности от аппроксимации при известной автокорреляционной функции

0 (Дй,) = (X) [1,5 - 2г (0,5Тц) + 0,5Гх (ц)]-

Параболическая аппроксимация. Если осуществлена параболическая аппроксимация, то необходимая частота дискретизации составит

/д = УХ™ах/16Да„; Van = ХЩх,, (6-22)

где Хтах - максимальное значение третьей производной.



Для синусоидальной функции при параболической аппроксимации, если f = I Гц и Van = 1 %, то

Следовательно, при параболической аппроксимации для заданных условий частота дискретизации по сравнению с кусочно-линейной аппроксимацией снижается только в два-раза при значительном усложнении аппаратуры.

Для случайного стационарного сигнала, ограниченного по спектру и по модулю при параболической аппроксимации

3 /W

При кубической аппроксимации необходимая частота дискретизации

-Для дальнейшего снижения частоты дискретизации при заданной погрешности восстановления применяют интервальную сплайн-аппроксимацию. Сплайн-аппроксимация нулевой и первой степени совпадает со ступенчатой и кусочно-линейной аппроксимацией. Сплайн-аппроксимация второй степени не совпадает с параболической аппроксимацией. При сплайн-аппроксимации критерием является не совпадение кривых в точках дискретизации, а плавность переходов на границах интервалов и минимальные расхождения в остальных точках интервалов. При сплайн-аппроксимации используется больше априорных данных, чем при обычной аппроксимации и формулыдля вычисления промежуточных ординат сложнее. При одинаковой точности восстановления частота дискретизации уменьшается в несколько раз. Например, при кубическом сплайне и погрешности в 1 % частота дискретизации при синусоидальном сигнале составляет 5/.

Ранее при анализе погрешности от аппроксимации погрешность от квантования при измерении каждой ординаты принималась равной нулю. Однако при более подробном анализе процессов дискретизации и восстановления необходимо принимать во внимание также и погрешности в определении каждой ординаты сигнала, которые определяются квантованием и предварительным преобразованием сигнала. Суммарная дисперсия значения каждой ординаты от квантования при равномерном и симметричном распределении Ак (п. 6.3) и от предварительного преобразования Апр при независимости Дк и Апр

.: = р +9/12-

Составляющая суммарной дисперсии любой ординаты восстанов-ленноуо сигнала от квантования и от погрешностей предварительного

19.0





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [ 61 ] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166