Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166

ражается суммой базисных функций:

Xsoccr{t) = tafii{t), (6.14)

где d (t) - некоторая система базисных функций; - коэффициенты ряда.

В первом случае, если базисные функции и коэффициенты ряда выбираются по критерию минимума средней квадратической погрешности восстановления

min у 1/Г { [Х,оест {t) - X (t)] dt, о

то в качестве системы базисных функций выбирается система синусоидальных функций, а коэффициенты ряда определяются как коэффициенты соответствующего ряда Фурье:

I X{i)Ci{t)di. о

Системой базисных функций является ряд гармоник, которые удобны для воспроизведения. Наиболее применяемой восстанавливающей функцией является ряд Котельникова.

Теорема Котельникова гласит: если функция х (t), удовлетворяющая условиям Дирихле, имеющая ограниченное число экстремумов и обладающая спектром с грайичной частотой /с дискретизирована циклически с периодом Гц < 1/2/с, то она может быть восстановлена по этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности.

Ряд Котельникова

k=-во

Непрерывный сигнал x(i) представляется суммой произведений мгновенных значений сигнала x{kTu), взятых с интервалом Тц,- = 1/2/с, на некоторую функцию времени, называемую функцией отсчетов

Функция отсчетов обладает следующими свойствами:

1) в моменты времени t = кТц достигает максимума, равного 1;

2) в моменты времени t = {кп) Гц, где п - любое целое число, равна 0;

3) ортогональна на бесконечном интервале времени.

Ряд Котельникова является одним из примеров обобщенного ряда Фурье и замечателен тем, что его коэффициенты равны мгновенным дискретизированный значениям сигнала х (t) и, следовательно, определяются наиболее простым способом.



функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних частот на входное воздействие в виде единичной импульсной функции. Следовательно, если дискретизированный с шагом Тц= 1/2/с сигнал X {t) подать на вход идеального фильтра с верхней границей пропускания /с, то на выходе получается восстановленный без погрешностей непрерывный сигнал х (t).

При использовании теоремы Котельникова необходимо учитывать, что:

теорема Котельникова предназначена для сигналов с ограниченным частотным спектром, а реальные сигналы X (t) всегда ограничены во времени и поэтому имеют бесконечный частотный спектр. Однако с достаточной для практики точностью можно ограничить спектр частотой /с (считая, что при / > /с спектр близок к нулю) и пренебречь, таким образом, влиянием высших гармоник;

дискретизированный по Котельникову реальный сигнал при пропускании его на приемном конце устройства через фильтры нижних частот восстанавливается приближенно, так как реальные фильтры не могут точно воспроизвести функцию отсчета, обладающую бесконечной протяженностью во времени и для отрицательных значений t. Однако с помощью фильтра с переменными параметрами возможно генерирование сигналов, воспроизводящих функцию отсчетов;

дискретизированные ординаты сигнала X (О практически никогда не являются мгновенными значениями. Чаще всего они выражают осредненное за некоторый конечный. (хотя иногда и весьма малый) интервал времени значение сигнала X {f). Это справедливо для случаев, когда дискретизированные выборки сигнала X (t) получены в результате операции интегрирования. Например, при использований АЦП интегрирующего типа или обычного АЦП с аналоговым запоминающим устройством (АЗУ) на входе. В подобных условиях возникает методическая погрешность представления информации средними (интегральными) дискретизированными значениями функции X (/). Оценкой ее может служить соотношение [47]

6=-1/24Q2,

где Q = (йТи - относительная частота, измерения синусоидального сигнала X{ty, Ти-время осреднения или интегрирования.

В измерительной технике при определении промежуточных значений измеряемой функции X (t) по дискретным отсчетам применяют обычно восстановление степенными полиномами, при этом необходимую частрту дискретизации во времени определяют по заданной погрешности, от аппроксимации.

Восстановление сигнала степенными полиномами, погрешности аппроксимации, определение частоты дискретизации

При аппроксимации X (t), на каждом участке между ее известными значениями х (кТ), заменяется кривой, изменяющейся по определенному закону (например, горизонтальной прямой при ступенчатой аппроксимации, отрезком наклонной прямой при кусочна-линейной и участком параболы при параболической). Наибольшую разность




Ряс. 6.11. Примеры аппроксимации:

с - ступенчатая; б- кусочно-линейная.

между аппроксим1фСБа ИНЫМИ, т. е. приближенными лвосст(0 действительными промежуточными значениями функции X (t), называют погрешностью от аппроксимации Дап (рис. 6.13, с, б). Погрешность от аппроксимации зависит от закона изменения X{t), от способа аппроксимации и шага дискретизации.

При малых Гц измерительный прибор должен иметь оЧень высокое быстродействие, что потребует усложнения его конструкции. Кроме того, возникает избыточность информации, т. е. перегрузка канала связи и устройств памяти. Если принять Гц большим, то невозможно точно восстановить первоначальную непрерывную функцию. Поэтому цикл Гц и частоту дискретизации /д = 1/Гц определяют по заданной погрешности от аппроксимации или в зависимости от заданной средней квадратической погрешности от аппроксимации.

Рассмотрим погрешность от аппроксимации при различных законах аппроксимации.

Ступенчатая аппроксимация. В случае использования степенных полиномов нулевого порядка, т. е. при самой простой ступенчатой аппроксимации, согласно (6.14),

«1 = (У; c,(,-f т) = п(т/Тц). •

Тогда восстанавливаемый сигнал

k=n к=п

= S at (t + г) Ct (4 + т) = S X (4) П (т/Гц).

Максимальное значение погрешности от аппроксимации Дап в этом случае будет на наиболее крутом участке функции, где первая производная достигает наибольшего значения. В момент, непосредственно предшествующий моменту измерения /+1, погрешность от аппроксимации (рис. 6.11, с)

Дап = i X/; - Xk+\ I = A, {t) Гц,

где x {t) - значение первой производной сигнала. Приведенная погрешность от аппроксимации

7ап = Дап/Х„ = Х; {t) TJX„; /д = 1/Гц = х; (t) Дап = Х; (0/7апХ„.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166