Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166

Погрешность от квантования и определение числа ступеней квантования

Размер измеряемой аналоговой величины может иметь бесконечное множество значений, однако в цифровом приборе он представляется ограниченным количеством показаний цифрового отсчетного устройства. При этом размер данной измеряемой величины X представляется одним из ближайших значений Nqx или {N -{- \)qx-

Погрешностью квантования цифрового прибора А = Хд, - X является разность между результатом измерения х, т. е. значением Nq и истинным значением измеряемой величины X, если все звенья ЦИП идеальны и не имеют погрешностей.

Погрешность квантования является методической погрешностью измерения как одного из методов отражения. Погрешность квантования возникает от несовершенства самого измерения или метода отражения, поскольку в этом случае непрерывный размер X выражается в ограниченном множестве чисел - результатов измерения.

Погрешность квантования обычно аддитивна по хара.ктеру, т. е. не зависит от X. Зависимость погрешности квантования от X может иметь и неаддитивный хара.ктер. Это наблюдается, например, в приборах для измерения относительной нестабильности с регулируемым масштабным преобразователем (см. п. 1.3). В большинстве цифровых измерительных устройств квантуется образцовая величина, поэтому в дальнейшем будем полагать, что погрешность от квантования имеет аддитивный характер. По характеру изменения погрешность от квантования может быть либо случайной, если X изменяется случайно, либо систематической, если X = const. В последнем случае эта погрешность может быть определена специальными методами [28].

Цифровым измерительным прибором измеряемая величина, находящаяся между двумя известными значениями х = Nq и x j j = = (Л + l)qx, может быть представлена [4]:

ближайшим меньшим числовым значением Nx = N;

ближайшим большим числовым значением Nx = N + I;

средним из них Nx = N + 0,5.

В первом случае уравнение ЦИП, отражающее зависимость между входом и выходом, будет

Nx=Ent\X/qx\. (6-3)

Погрешность от квантования

A. = Nxqx-XFr\X/qx\qx, (6.4)

где Fr[A]-дробная часть числа А. "

Зависимость между Nx и X, а также .кривые изменения погреШ-" ности от квантования и распределение Дк представлены на рис. 6.5, а.

Распределение погрешности Ак равномерно и несимметрично в области отрицательных значений аргумента. В этом случае максимальная погрешность Актах = - Qx-

. Приведенная максимальная погрешность Vk=. - qxixu. патемати-ческое ожидание погрешности М (Ак) = - qx/2. Среднее квадратиче-



5 4 3 2 1

5 4 3 2

± Ях


-1 I f

Рис. 6.5. Зависимость между Af;f и X: а -. при равномерном несимметричном распределении р (Д) (в области отрицательных значений аргумента); б - при равномерном несимметричном распределении р (Дд) (в области положительных значений аргумента); е - при равномерном симметричном распределении р (Ак)-

скоеотклонение погрешности Ак, изменяющейся в пределах от О до - qx,

о(Ак) = 9./2КЗ.

Во втором случае уравнение ЦИП . • ,

Ax = EntX/9.-f 1. • (6.5)

Погрешность от квантования

AK = Nxqx-X = \\-¥r\X\qxAqx. (6.6)

Зависимости Nx = /i(-X); Дк=/2(Х) и р (Дк) =/(Дк) показаны на рис. 6.5, б. Распределение погрешности Дк также равномерно и несимметрично, но в области положительных значений аргумента. В этом случае максимальная, погрешность Дкшах qx- Приведенная максимальная погрешность ук = 9к/л;н. Математическое ожидание погрешности M(AK)==qxl. .Среднее, квадратическое отклонение погрешности Дк, изменяющейся в пределах от О до +qx.

а(Дк) = 23.

В третьем случае при оценке X средним из числовых значений Nx и Nx+l результат ЦИП будет сдвинут на половину единицы

NEnt\X/q\ -f 0,5. (6.7)

Погрешность от квантования с учетом необходимого сдвига x на 0,5(7, для компенсации сдвига оценки

Ак = Nxqx - X = 9. Ent i X/qx \ + 0,bqx - X = 0,5qx - Ft X/qx qx.

(6.8)



практически этот способ реализуется Еведением постоянной поправки в X, равной 0,5(7., которая компенсирует систематическую составляющую или математическое ожидание погрешности от квантования.

Тогда вся совокупность значений X в узком диапазоне {Nx - - 0,5) (7л; до (Л/х-Ь 0,5) представляется результатом измерения % = распределение суммарной погрешности от квантования

равномерно и симметрично (рис. 6.5, в). Максимальная погрешность Актах = +Ях12. Приведенная максимальная погрешность == = ±с]х/2х„. Математическое ожидание погрешности М (Ак) = 0. Среднее квадратическое отклонение погрешности Ак, изменяющееся от -0,5./, до +0,5q,

а (Ак) = дх/2Уз:

При заданной допускаемой СКО погрешности от квантования номинальное число ступеней квантования для ЦИП, измеряющего мгновенную ординату сигнала

Л/„ = Хн/<7;,= Хн/2]/За(Ак). Если задана допускаемая приведенная погрешность от квантования Yk. д, то

/V„ = 100/2ук.д.

Для снижения погрешности от квантования измеряемую величину X = const суммируют с малой случайной величиной Хсл, распределенной по центрированному нормальному закону. Затем вьшолняются многократные измерения суммы, результаты которьрс осредняются. На выходе прибора получают значение xn, в котором погрешность от квантования может быть уменьшена во много раз [28].

В общем случае на входе ЦИП включается измерительный преобразователь ИП с уравнением Y - КХ и с приведенными ко входу погрешностями аддитивной Аа, мультипликативной бм и погрешностью от нелинейности Анел (рис. 7.1). Тогда суммарная приведенная ко входу погрешность ЦИП

1 -Ук Ас = АиП + F i/k = Да -Ь бмХ -f Анел ---

<-Ч/к - а -г "м1 -Г "нел "Г (Х-ЬДа-ЬвмХ + Днел)!

Суммарная абсолютная погрешность прибора состоит из постоянной аддитивной составляющей, не зависящей от величины X, и переменной мультипликативной, зависящей от величины X. ч

Суммарная абсолютная погрешность измерения в этом случае

100 "1" 100 Суммарная относительная погрешность

6с = S„ + уе,Хп1х;

бс = б„ -f Va + 7aW - Та = [с + d (W - I)].





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166